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2008-05-07 14:10:02
英國數學教育家貝克浩斯（Backhousl）在研究“問題解決”時首先提到的是中國古算題，其中包括雞兔同籠問題、100個和尚買100個饅頭問題等。解這些問題需要想象，解者在其情景中有明確的且力所能及的目的，但缺少現成的方法達到此目的，因此常常作為夜航船中或納涼賞月時的一種試智比知式考問的備辦學問，一代一代傳下來，還傳到世界各地，雞兔問題傳到日本叫龜鶴問題。明代作家張岱曾說：“天下學問，惟夜航船中最難對付”。又到納涼的季節，老公公們要用這些問題來試試兒孫輩的學問怎樣？有位小朋友聽了老公公提出的問題，覺得難度不大，便滿懷信心地對老公公說：慢點，讓我打開燈，拿紙和筆。老公公講不用筆就不可以算嗎？這一下，許多小朋友都被難住了。顯然老公公解這些難題的技巧肯定不同凡響，那么老公公是怎樣解這些問題的呢？我們先舉個例子說說。
一、雞兔同籠問題
例1 籠中有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞兔各有多少只？
解法1 假設法
假設一個未知數是已知的，比如假定50個頭全是兔，則共有腳（4×50=）200（只），這與題中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是雞當兔后每只雞多算了2只腳，所以雞的只數是（60÷2=）30（只），則兔的只數為（50-30＝）20（只）。
這種解法，思路清晰，但較復雜，不便操作。能不能形象地畫個圖呢？讓我們試試。
解法2 圖形法
從圖中看ACDF的面積＝4×50＝200（只腳）， 比實際多出 GHEF的面積＝200-140＝60（只腳）， AB=GH=60÷2=30（只雞）， BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）
解法2比解法1高級，算理是一樣的。這里答案是圖上算出的，顯然這兩種解法都要用紙和筆。不用紙和筆肯定是用口訣或易記的公式，這是老公公的傳家寶。
解法3 公式法
老公公講：只要用哨子一吹，并喊一聲口令：“全體肅立”。這時每只雞呈金雞獨立之狀，每只兔呈玉兔拜月狀，著地的腳數之和有（140÷2＝）70（只），其中雞的頭數與腳數相等，由于每只兔的腳比頭數多1，因此兔的頭數為（70－50＝）20（個），即兔有20只，則雞有（50－20＝）30（只）。這個故事實際上老公公用了如下的公式。
腳數和÷2-頭數和=兔子數。
小孫子們聽了興趣為之大增，紛紛叫老公公再出幾道題。老公公又出了
（1）30個頭，80只腳……。（兔10，雞20）。
（2）100只腳，40個頭……。（兔10，雞30）。
（3）80個頭，200只腳……。（兔20，雞60）
小孫子們個個都愉快地答出來了。
這個公式簡潔好用，它是祖代傳下來的還是老公公想出來的呢？我們中華文化博大精深，這兩種可能性都是有的。這個公式是碰巧做對還是符合算理的呢？這是十分重要的。數學家高斯說過：“數學中許多方法與定理是靠歸納發現的，證明只是補行的手續而已。”現在我們就來補行這個手續。
2雞頭=雞腳。
4兔頭=兔腳。
得：兔腳+雞腳=2雞頭+4兔頭
=2（雞頭+2兔頭）。
這就證明了老公公歸納的公式。
說到雞兔同籠問題，常常大家精神就緊張起來，以為是難題來了。現在掌握了規律其實不難，所以凡事都應去摸索規律，照規律辦事。
雞兔同籠問題在民間是當故事講的，有沒有實際價值呢？我們再來看下面的問題。
二、郵票問題
例2 買3角與5角的郵票共24張，總值4.6元，問兩種郵票各買了幾張？
解這道題當然可以用假設法和圖形法，但用什么樣的公式呢？美國數學教育家C?波利亞說：“……不論初等數學、高等數學中的發現……特別是不能沒有類比。”用類比很容易發現這個公式是：郵
設3角郵票為A1張，價值A2角；
5角郵票為B1張，價值B2角。
說明數量關系與雞兔同籠問題相一致。
又3A1=A2，5B1=B2。
得：A2＋B2＝3A1+5B1，
這就與例1的公式相類似，很容易將這個公式翻譯成語言陳述，大家試
（24－12＝）12（張）。
如果你認為這個公式不太好記，就不妨用圖來解。
（24×5－96）÷2=12（張、3角）
24-12＝12
所以解題方法的選用常常是根據具體情況而定的。
再試試
（1）6角與8角的郵票共18張，總價12.4元，問兩種郵票各幾張？（10，8）
（2）3角與8角的郵票共100張，總價50元，問兩種郵票各幾張？（60，40）
三、植樹問題
例3 一次植樹活動，規定大樹每人種2棵，小樹每人種4棵，全班50人種樹140棵，問種這兩種樹的各有多少人？
這道題可用例1的公式很快解得種大樹的有30人，種小樹的有20人。
四、運輸（工作）問題
例4 有小卡車50輛，大卡車每輛運4噸，小卡車每輛運2噸，共運140噸化肥，問大小卡車各幾輛？
難道不是題目看完答案就出來了嗎？
五、農藥問題
例5 甲種農藥每千克兌水20千克，乙種農藥每千克兌水40千克，現為了提高藥效，根據農科所意見，甲乙兩種農藥混合使用，已知兩種農藥共50千克，要配藥水140千克，問甲、乙兩種農藥各需多少千克？
用公式解很簡單（30，20），如果將這個公式交給農民，那么他們配起農藥來就既方便又正確，你能想出這個公式是什么嗎？
還會遇到許多許多的問題，它們的數量關系（應用題的本質）與雞兔同籠問題相一致，都可以用雞兔同籠問題的三種方法來解，這些問題我們將它們統稱為雞兔同籠問題。
相傳大禹治水到黃河，發現一只神龜，背上馱了一張圖叫河圖（洛書）。（左圖），用阿拉伯數字表示就是右圖，圖中三條豎線、三條橫線、二條對角線共八條線上三個數的和都是15，這樣的圖是怎樣造出來的呢？其法一時失傳了，于是有人用它來占卜、相風水，進入迷信狀態。后來數學家發現其原理是二進制，說明二進制是中國人最先發明的，近代根據二進制發明了計算機，所以有些基礎科學的研究成果一時看起來無多大用途，以后漸漸會發現有大用途，雞兔同籠問題不也是這樣嗎？因此我們一定要重視基礎科學的學習和研究。
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