2006年8月，第二十五屆國際數學家大會在西班牙馬德里舉行，中國科學院計算數學與科學工程計算研究所副所長陳志明研究員作了題為《求解微分方程的后驗誤差估計與自適應有限元方法》的45分鐘報告，成為此次大會唯一獲邀作45分鐘報告的中國大陸數學家。

　　最優方法已經走到極限

　　“自適應有限元方法的思想最早出現在1978年，美國數學家Babuska完成了這一方法的基本理論，但那個時候，自適應有限元方法被用來解決一些比較簡單的數學模型問題，而我的工作就是用它來解決比較復雜和困難的工程問題。”辦公室里，陳志明輕描淡寫地對記者說著自己在國際數學家大會上作的報告。

　　不過，從簡單問題到復雜的工程問題，這個方法要經歷和解決的困難卻無法輕描淡寫。

　　自適應有限元方法以常規有限元方法為基礎，以后驗誤差估計和自適應網格改進技術為核心，通過自適應分析，自動調整算法以改進求解過程。“從方法論角度來說，人們已經得到結論，自適應是用有限元方法解微分方程的最優離散方法。”陳志明說，在微分方程求解的有限元道路上，自適應已經是數學上能找到的“極限”方法了。

　　在實際生產實踐中，很多工程問題的解決都要用到微分方程，但用計算機求解微分方程需要進行大量計算。有時候，為了把誤差控制在足夠小的范圍內，需要進行上億次的運算，這對一般計算機來說非常吃力。有時即便進行上百億次運算，也無法把誤差控制在理想范圍之內。為了減少運算次數、控制誤差范圍，顯然，需要更好的求解方法。

　　“用有限元方法解微分方程有三步：設計網格、在網格上將微分方程離散、解代數方程。其中，設計網格是最關鍵也是最困難的一步。”所謂設計網格，就是把計算區域劃分為有限個互不重疊的單元，陳志明告訴記者，人們往往根據經驗來劃分網格，有時需要反復嘗試多次才能找到比較合適的劃分方法，而嘗試過程也需要進行大量運算。

　　“現在，用自適應方法解微分方程，設計網格的工作可以交給計算機自動完成，不再需要人們手工設置和嘗試，這樣節省了大量工作和時間。”陳志明說。

　　在第二十五屆國際數學家大會的報告中，陳志明以工程中的熱傳導問題為例，很好地說明了這一方法的高效率。如果在計算域內設計分布均勻的網格，將需要100億個網格，但這時達到的誤差仍然有0.1；如果用自適應方法設計出分布不均勻的網格，只需要2673個網格，誤差就會下降到0.07。

　　現在，陳志明在橢圓障礙問題、超導數學模型、電磁散射計算中引入的創造性的有限元自適應方法，被國際學術界認為“非常重要和有用”。

　　循著開創者的路繼續開創

　　陳志明作完45分鐘報告之后，遇到一位曾在1994年國際數學家大會上作邀請報告的西班牙數學家。當他得知陳志明來自中國科學院計算數學與科學工程計算研究所，興奮地說，多年前，他曾訪問中科院計算數學與科學工程計算研究所的前身——中科院計算中心，與馮康先生討論數學問題，后來他還邀請馮康先生到西班牙訪問。

　　對未知的追求與對先驅的敬仰重新交織在同一個時空。

　　馮康一生中有兩次重大科學突破：1964～1965年間，獨立開創有限元方法并奠定其數學基礎；1984年以后創建哈密爾頓系統的辛幾何算法及其發展。

　　“我只是在南京大學讀書的時候聽過馮先生的報告，那是我對馮先生最直接的印象。遺憾的是，馮先生在1993年就過世了，當時我還在國外攻讀博士學位，沒有機會得到馮先生的親自指導。后來到了計算數學與科學工程計算研究所，我才聽大家說起馮先生的工作，開始讀他的文章。那些東西很深，他的工作很了不起。”陳志明回憶起馮先生給他留下的印象。

　　1994年，陳志明還在德國做博士后。當時他在做超導數學模型的計算，從一個報告中了解到美國數學家Babuska開創的自適應方法，并感到這個方法非常有意思，隨即搜集了很多相關材料。很快，陳志明回國，在研究工作中逐漸把自適應方法引入到解決復雜工程問題的有限元計算中。

　　計算數學與科學工程計算研究所石鐘慈、林群和崔俊芝幾位院士，也從事有限元方法的研究，平時經常和陳志明一起交流、討論，非常支持陳志明。“有限元方法的研究在我國基礎很強，我現在做的工作也是繼承了這個傳統。為什么要解決這些工程問題，為什么這些問題這么重要，這個解決辦法是怎么開創出來的等等，這其中的來龍去脈，學術文章里是不寫的，但往往是科學研究中很重要的部分。能夠在這種良好氛圍中熏陶和灌輸，慢慢地，人在學術上的品位就會逐步建立起來。”

　　這些年來，陳志明和他周圍的學者們不斷討論計算數學的發展方向。當前國內計算數學的研究范圍已經擴大到應用、實現技術、軟件平臺研究等，與國際上的研究趨勢更加緊密地結合起來。

　　2005年，陳志明成為國家“973”計劃項目“高性能科學計算研究”的首席科學家。這使得他們從事的研究能夠更加深入地進行下去。“我一直很喜歡自適應這個方法，對Babuska先生，我也很景仰。他這種原創性的想法非常難得，對我們幫助很大。當然，要拿這套東西去解決新的問題，還需要新的想法和新的發現。”

　　計算數學水平邁上新臺階

　　身處國際數學家大會，陳志明在會議期間常和同行交流，他感到，中國計算數學的水平已經得到了國際學術界的肯定。

　　“在計算數學領域，我國的學術水平在國際上已經上了一個新臺階。國內學者在國外頂尖刊物上發表文章已經非常多，這種整體水平的提高也已經被國外學者注意到了。他們說，原來國外頂尖刊物上的文章也有很多中國學者的名字，但是地址都在國外，現在這些中國學者的地址很多都在國內了。

　　“另外，我們現在研究的問題也能讓國外的學者感興趣，這在某種程度上代表著你做的學問是否有原創性。

　　“我從事的是計算數學領域，但我想不僅僅是計算數學在發展，總的來講，我國數學的總體水平比以前有了很大的進步。”

　　陳志明認為，整體水平高了以后，分支領域中才會有更高的成就。例如俄羅斯的數學傳統非常強，才會產生佩雷爾曼這樣的數學家。他用來證明龐加萊猜想的一個關鍵方法，西方數學界幾乎無人能懂，但是受過俄羅斯數學教育的數學家卻都深諳此道。這就是俄羅斯整體數學水平高、長期積累的數學工具之一，而且這種數學工具其他國家的人往往不知道，這樣的話，很有可能有些問題只能用這些“獨門”數學工具來解決。

　　喜歡數學是因為從中找到了樂趣

　　第二十五屆國際數學家大會上，陳志明和他的國際同行有一個共識，他說：“我感覺數學家還是應該更多地考慮數學本身，專注于做學問，其他的不應該考慮太多。

　　“我們確實討論到了這樣的問題，大家喜歡做數學，就是因為從做數學的過程中找到了樂趣。有一位國際同行的話讓我印象深刻，他說，‘你做數學的過程，樂在其中，那就夠了！’

　　“有的人說數學枯燥，我覺得很有意思，因為數學能把很多自然現象歸納成數學模型，通過這個數學模型能預測很多原來不可能知道的事情。

　　“這是非常有意義的，原來不能做的事情現在能做了，原來別人看不到的，通過你的努力能看到了，這些就是科學發現。搞數學的和其他科學研究都一樣，都需要堅持和勤奮。”

　　對過程樂在其中，對結果自然就不會太多過問，陳志明說：“隨著時間過去，很多東西都會過去，真正原創的研究才能留下來。但是科學史上能夠留下來的東西是非常少的。”

　　“科學家也是人，不可能完全脫離社會，如果出現了對學術問題的不同意見也很正常。科學史上也有牛頓和萊布尼茲關于微積分發明權的爭論，但最后他們都留在了科學史上，說明他們的工作都很重要。”對于工作的價值，陳志明認為，那是要用時間來判斷的，與自己要做的工作無關。