小學五年級奧數第一講——最大數和最小數問題

　　六月一日，“小天使”兒童快餐店迎來了28位前來就餐的小朋友。快餐店的老板準備了一份精美的禮品送給其中年齡最小的小朋友。

　　誰的年齡最小呢？

　　當每個小朋友報出自己的年齡后，老板發現，其中有10歲的，也有9歲、8歲、7歲、6歲的，最小的是5歲。但是5歲的小朋友有4位。按照這4位小朋友生日的先后，還能找到一個最小的，因此老板要他們各自報出自己的生日。結果如下：

　　小雨2月8日

　　豆豆5月2日

　　苗苗8月16日

　　慧慧12月9日

　　把這4位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是28位小朋友當中最小的。

　　慧慧得到老板送的大蛋糕。她把這塊大蛋糕分成了28份，讓大家和她一起品嘗。

　　也許有的同學會問：“如果這4個小朋友中有兩個生日是同一天，那怎么辦呢？”

　　是不是誰生日的數字大就是誰大呢？哪些是通過比數字的大小得到最大最小數？通過下面的一些例題與方法，我們將會得到這方面的知識。

　　典型例題

　　例[1]用2，4，6，8這4個數字組成一個最大的四位數。

　　分析用這4個數字組成4位數有很多個，但最大的只有一個。要使組成的四位數最大，應當遵循一條原則：用較大的數占較高的數位。

　　解用2，4，6，8組成的最大的四位數是8642。

　　例[2]從十位數7677782980中劃去5個數字，使剩下的5個數字（先后順序不改變）組成的五位數最小。這個五位數最小的五位數是多少？

　　分析在10個數字中劃去5個數字，還剩5個數字組成五位數。要使這個五位數最小，應當用最小的數去占最高位（萬位），第2小的占千位……

　　但是，10個數字中最小的2不能放在萬位上（想一想，為什么？）。這樣，萬位上的數只能在剩下的第2小的數中選，應選6。萬位確定后，千位在剩下的數中選最小的2。

　　而題目中要求剩下的5個數字的先后順序不改變，所以，百位、十位、個位上的數字只能是最后三個數字9，8，0。

　　解劃去4個7和萬位上的8。剩下的數組成的最小五位數是62980。

　　例[3]錢袋中有1分、2分、5分3種硬幣。甲從袋中取出3枚，乙從袋中取出2枚，取出的5枚硬幣僅有2種面值，并且甲取出的3枚硬幣面值的和比乙取出的2枚硬幣面值的和少3分，那么取出的錢數的總和最多是多少分？

　　分析因為乙只取2枚硬幣，而2枚硬幣的錢數最多是5×2=10（分）。而甲取出的3枚硬幣的和比乙取出的2枚硬幣的和少3分。因此，最多只有10－3=7（分）。兩者合起來就是取出的錢數的總和的最大值。

　　解10＋7=17（分）

　　例[4]一把鑰匙只能開一把鎖。現在有4把鑰匙4把鎖，但不知哪把鑰匙開哪把鎖，最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖？

　　分析開第1把鎖，從最壞的情況考慮，試了3把鑰匙還未成功，則第4把不用再試了，他一定能打開這把鎖。同樣的道理，開第2把鎖最多試2次，開第3把鎖最多試1次，最后剩下的一把鑰匙一定能打開剩下的第4把鎖，不用再試。

　　解最多（也就是按最不湊巧的情況考慮）要試的次數為3＋2＋1=6（次）。

　　例[5]把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得數最大。

　　□□□□－□□×□□這個最大得數是多少？

　　分析要使得數最大，被減數（四位數）應當盡可能大，減數（□□×□□）應當盡可能小。由例[1]的原則，可知被減數為8765。下面要做的是把1、2、3、4分別填入□□×□□的4個“□”中，使乘積最小。要使乘積最小，乘數和被乘數都應當盡可能小。也就是說，它們的十位數都要盡可能小。因為

　　12×34=408而14×23=322，13×24=312（最小）

　　解8765－13×24=8453

　　小朋友們，回到我們開頭提的故事，那么我們發現，不是所有的比較大小都只看數字，而是同時要考慮其他因素，慧慧生日數字大，證明她出生晚，所以她最小，同樣的理由，如果這4位小朋友在同一天生日，那么誰出生的時間最晚那么誰就最小。

　　小結用不同的數字組成多位數，要使組成的數最大，應當用較大的數占較高的數位；要使組成的數最小，應當用較小的數占較高的數位。

　　其中列舉比較法是獲得最大數或最小數的常用方法。

　　解決“最大（最小）問題”，有時需要考慮最不利（最不湊巧）的情況，比如，“鎖與鑰匙配對”的問題。

　　有這樣一條規律一定要記住：兩個整數的和一定，那么當它們相等時，乘積最大。