黎曼于1826年出生在德國的一個農村！19歲到哥廷根大學讀書，成為高斯晚年的一名高才生。哥廷根大學在后來的100多年里一直是世界數學的研究中心。黎曼畢業后留校任教。15年后（1866）死于肺結核。

　　黎曼的一生是短暫的，不到40個年頭。他沒有時間獲得象歐拉和柯西那么多的數學成果。但他的工作的優異質量和深刻的洞察能力令世人驚嘆。我們之所以要介紹黎曼，是因為盡管牛頓和萊布尼茲發現了微積分，并且給出了定積分的論述，但目前教科書中有關定積分的現代化定義是由黎曼給出的。為紀念他，人們把積分和稱為黎曼和，把定積分稱為黎曼積分。

　　德國數學家希爾伯特曾指出：“19世紀最有啟發性、最重要的數學成就是非歐幾何的發現。”1826年俄國數學家羅巴切夫斯基首先在保留歐氏幾何前四個公設的同時，提出與歐氏幾何第五公設相反的公設：“過平面上直線外一點，至少可以作兩條直線與原直線平行。”從而構造了一個新的邏輯體系。在這個新的幾何體系里，如同歐幾里得幾何一樣，沒有任何邏輯矛盾。在羅巴切夫斯基幾何學中。出現了許多與歐氏幾何完全不同的定理和命題。如“三角形內角和小于180度”；“圓周長與直徑的比恒大于π，所大的值隨面積的增加而增大”。這種幾何學稱為非歐幾何學。

　　德國的高斯、俄國的羅巴切夫斯基和匈牙利的鮑耶幾乎同時提出了非歐幾何學的思想，各自獨立地創立了非歐幾何學。但高斯因“害怕引起某些人的喊聲”而未敢公開發表。也由于高斯未能正確評價和鼓勵鮑耶的發現，致使鮑耶放棄了數學研究。而羅巴切夫斯基不保守、不消沉，一直堅持公開宣傳非歐幾何學。他的精神確實令人敬佩，他的幾何創新工作終于得到后人的一致承認和普遍贊美，稱他是“幾何學中的哥白尼”。

　　1854年黎曼提出了一種新的幾何學。在這種幾何學中，黎曼把歐氏幾何的第五公設改為“過平面上直線外一點沒有直線與原直線平行”。由此可推出“三角形內角和大于π”的命題，更重要的是他把歐幾里得三維空間推廣到ｎ維空間，從而得到一種新的幾何學－－黎曼非歐幾何學。他的工作遠遠超過前人，他的著作對１９世紀下半葉和２０世紀的數學發展都產生了重大的影響。他不僅是非歐幾何的創始人之一，而且他的研究成果為50年后愛因斯坦的廣義相對論提供了數學框架。愛因斯坦在創建廣義相對論的過程中，因他缺乏必要的數學工具，長期未能取得根本性的突破，當他的同學、好友，德國數學家格拍斯曼幫助他掌握了黎曼幾何和張量分析之后，才使愛因斯坦打開了廣義相對論的大門，完成了物理學的一場革命，宣告核時代的來臨。愛因斯坦深有體會地說：“理論物理學家越來越不得不服從于純數學的形式的支配。”愛因斯坦還認為理論物理的“創造性原則寓于數學之中。”黎曼的數學思想精辟獨特。對于他的貢獻，人們是這樣評價的：“黎曼把數學前進推進了幾代人的時間”。

　　非歐幾何的建立所產生的一個“最重要的影響是迫使數學家們從根本上改變了對數學性質的理解”。歷史學家通過數學這面鏡子，不僅看到了數學的成就與應用，也看到了數學的發展如何教育人們去進行抽象的推理、發揚理性主義的探索精神、激發人們對理想和美的追求。