隨著數學競賽的發展，已逐漸形成一門特殊的數學學科--競賽數學。                                  
一、數學競賽的簡史
    數學競賽與體育競賽相類似，它是青少年的一種智力競賽，所以蘇聯人首創了"數學奧林匹克"這個名詞。在類似的以基礎科學為競賽內容的智力競賽中，數學競賽歷史最悠久，參賽國最多，影響也最大。比較正規的數學競賽是1894年在匈牙利開始的，除因兩次世界大戰及1956年事件而停止了7屆外，迄今已舉行過90多屆。蘇聯的數學競賽開始于1934年，美國的數學競賽則是1938年開始的。這兩個國家除第二次世界大戰期間各停止了3年外，均己舉行過50多屆，其他有長久數學競賽歷史的國家是羅馬尼亞（始于1902年）、保加利亞（始于1949年）和中國（始于1956年）。
    1956年，東歐國家和蘇聯正式確定了國際數學奧林匹克的計劃，并于1959年在羅馬尼亞布拉索夫舉行了第一屆國際數學奧林匹克（InternationaI Mathematics Olympiad，簡稱1MO）。以后每年舉行一次。除1980年因東道國蒙古經濟困難停辦外，至今共舉行過40屆。參賽國家也愈來愈多。第一屆僅7個國家參加，至1980年已有23個；到1990年，則有54個。
    必須說明在上述歷史之前已有一些數學競賽活動，例如蘇聯人說，在1886年帝俄時代就舉行過數學競賽。又如1926年在中國上海市舉辦過包括學生、銀行和錢莊職員在內的珠算比賽，中華職業學校一年級學生，16歲的華羅庚憑智慧奪得了冠軍。這些都是關于數學競賽的佳話，不列入正史。
二、數學競賽的發展
    數學競賽活動是由個別城市，向整個國家，再向全世界逐步發展起來的。例如蘇聯的數學競賽就是先從列寧格勒和莫斯科開始，至1962年拓展至全國的，美國則是到1957年才有全國性的數學競賽的。
    數學競賽活動也是由淺入深逐步發展的。幾乎每個國家的數學競賽活動都是先由一些著名數學家出面提倡組織，試題與中學課本中的習題很接近，然后逐漸深入，并有一些數學家花比較多的精力從事選題及競賽組織工作，這時的試題逐漸脫離中學課本范圍，當然仍要求用初等數學語言陳述試題并可以用初等數學方法求解。例如蘇聯數學競賽之初，著名數學家柯爾莫哥洛夫、亞歷山大洛夫、狄隆涅等都參與過這一工作。在美國，則有著名數學家伯克霍夫父子、波利亞、卡普蘭斯基等參與過這項工作。
    國際數學奧林匹克開始舉辦后，參賽各國的備賽工作往往主要是對選手進行一次強化培訓，以拓廣他們的知識，提高他們的解題能力。這種培訓課程是很難的，比中學數學深了很多。這時就需要少數數學家專門從事這項活動。
    數學競賽搞得好的國家，競賽活動往往采取層層競賽、層層選拔這種金字塔式的方式進行。例如。蘇聯分五級競賽，即校級、市級、省級、加盟共和國級和全蘇競賽，每一級的競賽人數約為前一級的1/10，還設立了8個專門的數學學校（或數學奧林匹克學校），以培養數學素質好的學生。
    數學競賽雖然歷史悠久，但最近10年有很大發展和變化，有關工作愈趨專門，我們要認真注意其發展，認識其規律。
三、數學競賽的作用
1. 選拔出有數學才能的青少年。由于數學競賽是在層層競賽，水平逐步加深的考核基礎上選拔出優勝者，優勝者既要有踏實廣泛的數學基礎，又要有靈活機智的頭腦和富于創造性的才能，所以他們往往是既刻苦努力又很聰明的青少年。這些人將來成才的概率是很大的。數學競賽活動受到愈來愈多國家的注意，在世界上發展得那么快的重要原因之一就在于此。在匈牙利，著名數學家費葉、黎茨、舍貴、寇尼希、哈爾、拉多等部曾是數學競賽的優勝者。在波蘭，著名數論專家辛哲爾是一位數學競賽優勝者。在美國，數學競賽優勝者中后來成為菲爾茲數學獎獲得者的有米爾諾、曼福德、奎倫三人，也有不少優勝青成為著名的物理學家或工程師，如著名力學家馮•卡門。
2. 激發了青少年學習數學的興趣。數學在一切自然科學、社會科學和現代化管理等方面都愈來愈顯得重要和必不可少。由于電子計算機的發展，各門科學更趨于深入和成熟，由定性研究進入定量研究。因此青少年學好數學對于他們將來學好一切科學，幾乎都是必要的。數學競賽將健康的競爭機制引進青少年的數學學習中，將激發他們的上進心，激發他們的創造性思維。由于數學競賽是分級地金字培式地進行的，所以國家級競賽之前的競賽，試題基本上不跳離中學數學課本范圍，適合廣大青少年參加．但也要承認人的天賦和數學素質是有差別的，甚至會有很大的差別。國家級競賽及其以后的競賽和培訓，只能在少數人中拔高進行，少數有很好數學素質的青少年是吃得消的。例如，澳大利亞少年托里•陶在他10歲、11歲和12歲時分別在第27、28和29屆國際數學奧林匹克上獲得銅牌、銀牌和金牌。在數學競賽的拔高階段當然需要一些大學老師和數學專業研究人員參與。
3. 推動了數學的教學改革工作。數學競賽進入高層次后，試題內容往往是高等數學的初等化。這不僅給中學數學添人了新鮮內容，而且有可能在逐步積累的過程中，促使中學數學教學在一個新的基礎上進行反思，由量變轉入質變。中學教師也可在參與數學競賽活動的過程中，學得新知識，提高水平，開闊眼界，事實上，己有一些數學教學工作者在這項活動中逐漸嘗到了甜頭。因此數學競賽也可能是中學數學課程改革的"催化劑"之一，似乎比自上而下的"灌輸式"的辦法為好。60年代初，西方所謂中學數學教學現代化運動即是企圖用某些現代數學代替陳舊的中學數學內容，但采取了由上往下灌輸的方法，結果既脫離教師水平，也脫離學生循序學習所需要的直觀思維過程。現在基本上被風一吹，宣告失敗了。相反地，數學競賽也許是一條途徑。在中國，中學生的高考壓力很重，中學教師為此而奔波，確有路子愈走愈窄之感。數學競賽或許能使中學數學的教學改革走向康莊大道。
四、競賽數學--奧林匹克數學
    隨著數學競賽的發展，已逐漸形成一門特殊的數學學科--競賽數學，也可稱為奧林匹克數學。將高等數學下放到初等數學中去，用初等數學的語言來表述高等數學的問題，并用初等數學方法來解決這些問題，這就是競賽數學的任務。這里的問題甚至解法的背景往往來源于某些高等數學。數學就其方法而言，大體上可以分成分析與代數，即連續數學與離散數學。由于目前微積分不屬于國際數學奧林匹克的范圍，所以下放離散數學就是競賽數學的主體。很多國際數學奧林匹克的試題來自數淪、組合分析、近世代數、組合幾何、函數方程等。當然也包含中學課程中的平面幾何。
    競賽數學又不同于上述這些數學領域。通常數學往往追求證明一些概括廣泛的定理，而競賽數學恰恰尋求一些特殊的問題，通常數學追求建立一般的理論和方法，而競賽數學則追求用特殊方法來解決特殊問題；而且一旦某個問題面世，即成為陳題，又需繼續創造新的問題。競賽數學屬于"硬"數學范疇，它通常也與純粹數學一樣，以其內在美，包括問題的簡練和解法的巧妙，作為衡量其價值的重要標準。
    競賽數學不能脫離現有數學分支而獨立發展，否則就成了無源之水，所以它往往由某些領域的專家兼搞，如參加國際數學奧林匹克的中國代表團的出色教練單?，就是一位數論專家。
    國際數學奧林匹克的精神是鼓勵用巧妙的初等數學方法來解題，但并不排斥高等數學方法和定理的使用。例如在第31屆國際數學奧林匹克中，有學生在解題時用到了貝特朗假設，也稱車比雪夫定理，即當n大于1時，在n和2n之間必定有一個素數，還有人在解題時用到了謝爾賓斯塞定理，即一個平方數表成s個平方數之和的通解形式。這些定理須在華羅庚所著的《數論導引》（大學數學系研究生教本）或更專門的書中才能找到。這樣不僅已是"殺雞用牛刀"，而且按某外國教練的說法，"他們在用原子彈炸蚊子，但蚊于被炸死了！"這樣做是允許的，但不是國際數學奧林匹克所鼓勵的。
    國際數學奧林匹克的一個難試題，經簡化后的證明要寫三四頁，這不僅大大超過中學課本的深度，也不低于大學數學系一般課程的深度，當然不包括大學課程的廣度。實際上，大學數學系課程中，一條定理的證明長達3頁者并不多。一個好試題的解答，大體上相當于一篇有趣的短論文。因此用這些問題來考核青少年的數學素質是相當科學的。它們的解決需要參賽者有相當寬廣的數學基礎知識，再加上機智和創造性。這與單純的智力小測驗完全不同。國際上的數學競賽范圍，大體上從小學四年級到大學二年級。小學生因基礎知識太少，這期間的所謂數學競賽，其實是智力小測驗型。對大學生應強調系統學習，要求對數學有一個整體了解。因此數學競賽的重點應是中學，特別是高中。
    現在已經積累了豐富的數學競賽題庫，可供中學師生和數學愛好者練習。國際上也已經有了競賽數學的專門雜志。
五、數學競賽在中國
    我國的數學競賽始于1956年，當時舉辦了北京、上海、武漢、天津四城市的高中數學競賽。華羅庚、蘇步清、江澤涵等最有威望的數學家都積極出面領導并參與這項工作。但由于"左"的沖擊，至1965年，只零零星星地舉行過6屆，"文化大革命"開始后，數學競賽更被看成是"封、資、修"的一套而被迫全部取消。直到"四人幫"被打倒，我國的數學競賽活動于1978年又重新開始，并從此走上了迅速發展的康莊大道。1980年前的數學競賽屬于初級階段，即試題不脫離中學課本。1980年以后，逐漸進入高級階段。我國于1985年第一次參加國際數學奧林匹克，1986年開始名列前茅，1989和1990年連續兩年獲得團體總分第一。
    我國成功地舉辦了第31屆國際數學奧林匹克，這標志著我國的數學競賽水平已達到國際領先水平。第一，中國獲得團體總分第一，說明我國金字塔式的各級競賽和選拔體系及奧林匹克數學學校和集中培訓系統是完善的，第二，我國數學家對35個國家提供的100多個試題，進行了簡化與改進，從中推薦出28個問題供各國領隊挑選，結果被選中5題（共需6題），這說明我國競賽數學的水平是相當高的。第三，各國學生的試卷先由各國領隊批改，然后由東道主國家組織協調認可。我們組織了近50位數學家任協調員，評分準確、公平，提前半天完成了協調任務，說明我國的數學有相當的實力。第四，這是首次在亞洲舉行國際數學奧林匹克，中國的出色成績鼓舞了發展中國家，特別是亞洲國家。除此而外，這次競賽的組織工作也是相當不錯的。
    在中國，從老一輩數學家，中青年數學家，直至中小學老師，成千上萬人的共同努力，才在數學競賽方面獲得了今天的成就。這里特別要提到華羅庚，他除倡導中國的數學競賽外，還撰寫了《從楊輝三角談起》《從祖沖之的圓周率談起》《從孫子的"神奇妙算"談起》《數學歸納法》和《談談與蜂房結構有關的數學問題》5本小冊子，這些是他的競賽數學作品。我國在1978年重新恢復數學競賽后，他還親自主持出試題，并為試題解答撰寫評論。中國其他優秀競賽數學作品有段學復的《對稱》閡嗣鶴的《格點和面積》姜伯駒的《一筆畫和郵遞路線問題》等。這里還應提到王壽仁，他從跟華羅庚一起工作起，一直到今天，始終領導并參與了數學競賽活動。他帶領中國代表隊3次出國參加國際數學奧林匹克，并領導了第31屆國際數學奧林匹克的工作。1980年以后，我國基本上由中青年數學家接替了老一輩數學家從事的數學競賽工作，他們積極努力，將中國的數學競賽水平推向一個新的高度。裘宗滬就是一位突出代表。他從培訓學生到組織領導數學競賽活動，從3次帶領中國代表隊參加國際數學奧林匹克到舉辦第31屆國際數學奧林匹克，均作出了杰出貢獻。
六、關于我國數學競賽的幾個問題
1． 要認真總結經驗。既要總結成功的經驗，也要總結反面的教訓。特別是1956年至1977年的22年中只小規模地舉行了6次數學競賽，完全停止了16年，比匈牙利因兩次世界大戰而停止數學競賽的時間長一倍多，這也從一個側面反映了"左"的危害。要允許甚至鼓勵對數學競賽發表各種不同看法，以避免大轟大嗡、大起大落及"一刀切"。當有了缺點時，要冷靜分析，劃清數學競賽內含的不合理性與工作中的缺點的界線。
2． 完善領導體制。可否設想，國家教委和中國科協通過中國數學會數學奧林匹克委員會（或其他形式的一元化領導），統一領導與協調全國各級數學競賽活動和國際數學奧林匹克的參賽和組織培訓工作。成立數學奧林匹克基金會，協助某些數學競賽活動，獎勵數學競賽優勝者和作出貢獻的領導、教練、中小學教師等。
3． 向社會作宣傳。宣傳數學競賽的意義和功能，以消除誤解，例如"數學競賽是中小學生搞的智力小測驗"，"這是選拔天才，沖擊了正常教學"，"教師，特別是大學教師，搞數學競賽是不務正業"等。要用事實說明數學競賽活動的成績。例如僅僅"文革"前的幾次低層次數學競賽中，已有一些競賽優勝者成才了。如上海的汪嘉岡、陳志華，北京的唐守文、石赫，他們現在已經是國內的著名中年數學家，有的已獲博士導師資格。他們在"文革"中都被耽誤了10年，否則完全會有更大成就。
4． 處理好普及與提高的關系。數學競賽需要分學校、市、省、全國、冬令營、集訓班金字塔式地進行。前3個層次是普及型的，試題應不脫離中學數學課本范圍，面向廣大學生和教師。國家級競賽及以后的活動是提高型的，參賽者的面要迅速縮小。至于冬令營和集訓隊，全國只能有幾十個學生參加。數學奧林匹克學校要注意質量，宜辦得少而精。對于參加數學學校的學生要嚴格挑選，不要妨礙他們德、智、體的全面發展。除冬令營和集訓班需要少數數學家集集中時間出試題和進行培訓工作外，宜鼓勵廣大數學家和中小學教師利用業余時間從事數學競賽活動，不要妨礙大家的正常工作。總之，數學競賽的普及部分與提高部分不要對立，而要有機地結合起來。
5． 對數學競賽優勝者要繼續進行教育和培養。一方面要充分肯定優勝者的成績并加以鼓勵，另一方面也要告訴競賽優勝者，必須戒驕戒躁，謙虛謹慎，要成為一個好數學家或其他方面的專家，還須經過長期不懈的鋤。不要將競賽獲勝看成唯一的目的，要看成鼓勵前進的鞭策。還要為數學競賽優勝者創造較好的深入學習的機會，使他們能迅速成長。例如可以考慮允許某些理工科大學在高中全國數學競賽優勝者中，自行選拔一部分學生免試入學。
6． 對數學競賽活動作出貢獻的人員，包括組織領導者、教練與中小學教師的工作成績要充分肯定并給予獎勵。在他們的工作考核中，作為提職晉級的依據之一。
（注：王元教授是中國數學理事會理事長，是我國數學競賽組委會主席，第31屆國際數學奧林匹克競賽在我國舉行，他是主要組織者，他寫了一篇總結發表在《自然雜志》第十三卷十二期上，轉載于此，供廣大同行和讀者參考。）