“計(jì)算”一詞的應(yīng)用面很廣，本章我們討論的范圍只限定在整數(shù)的加、減、乘、除法四則運(yùn)算范疇內(nèi)。

　　在人類早期(具體時(shí)間無(wú)法確定)的某一刻，原始人類不知由于什么原因慢慢發(fā)現(xiàn)了事物是可以計(jì)數(shù)的，并且計(jì)數(shù)的結(jié)果與計(jì)數(shù)的順序沒(méi)有關(guān)系。比如你在手指上計(jì)兩只羊，它與你從哪只羊開始計(jì)沒(méi)有關(guān)系，同樣與你從拇指或小指開始計(jì)也沒(méi)有關(guān)系，最后總是數(shù)到2為止。如果你數(shù)完兩只羊后再數(shù)一只，那一定數(shù)到3為止。

　　人類對(duì)形如2十1=3這樣的計(jì)算理論的認(rèn)識(shí)一定慢慢經(jīng)歷了很漫長(zhǎng)的時(shí)期。如果我們能打開一幅過(guò)去歷史的發(fā)展畫卷，我們一定能發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)單一的年代能夠令我們說(shuō)“這就是人類發(fā)明了計(jì)算的年代”。這就如同孩子們對(duì)數(shù)的計(jì)算的認(rèn)識(shí)過(guò)程一樣，某一小孩可能在某一時(shí)刻第一次說(shuō)出1+1=2，但他或她在第一次用詞語(yǔ)描繪它以前。對(duì)這一式子的認(rèn)識(shí)過(guò)程可能已經(jīng)經(jīng)歷很長(zhǎng)時(shí)間了。

　　雖然導(dǎo)之于數(shù)字系統(tǒng)公理及定義的推理應(yīng)運(yùn)而生，但這并不意味著我們僅憑聽一下就能斷定某一計(jì)算陳述的正確與否。比如某人聲稱12 345 679×9=111 111 111，他沒(méi)經(jīng)過(guò)做乘法驗(yàn)證以前，你不可能完全相信。有些計(jì)算方面的定理陳述看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但其內(nèi)涵卻很深?yuàn)W，以致于可能沒(méi)有人知道其正確與否，“哥德巴赫猜想”就是一個(gè)很著名的例子。任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和嗎？迄今還沒(méi)有人能證明它是正確的，但也沒(méi)有人能舉出反例。

　　在這一部分，我們考慮關(guān)于計(jì)數(shù)方面比較簡(jiǎn)單的一類問(wèn)題。假如我們處理得適當(dāng)，所有問(wèn)題都有很簡(jiǎn)單的解法。我們精選的問(wèn)題雖然很基本，但卻介紹了一些重要的概念及技巧，以引導(dǎo)我們?cè)凇皵?shù)論”即過(guò)去被稱作“高等計(jì)算”方面達(dá)到一定水平。例如書中“唱片要割裂嗎”部分介紹“丟番圖”分析時(shí)。以之作為方程積分解法的發(fā)現(xiàn)，“多余的一個(gè)”包含了最基本的最小公倍數(shù)的概念，并依照“中華余數(shù)定理”可得到意想不到的簡(jiǎn)單解法。

　　在計(jì)算機(jī)研究及分類理論中占重要地位的二進(jìn)制分類方式。構(gòu)成了猜測(cè)海倫的“未入冊(cè)的電話號(hào)碼”這一趣事的基礎(chǔ)，并且介紹了記憶的二進(jìn)制系統(tǒng)。在數(shù)論的很多高深證法中顯得最基本的“鴿洞原理”。用來(lái)證明了兩個(gè)有趣結(jié)果。其一是關(guān)于鈔票問(wèn)題的，其二是關(guān)于頭上生長(zhǎng)的頭發(fā)問(wèn)題的。兩個(gè)整數(shù)互素(沒(méi)有公約數(shù))這一論據(jù)對(duì)表的時(shí)針、分針、秒針只能在12點(diǎn)完全重合――一個(gè)通常用乏味的代數(shù)方法才能證明的

　　定理提供了一個(gè)出人意料的簡(jiǎn)捷方法。

　　關(guān)于瓶子計(jì)數(shù)方面的一個(gè)難題通過(guò)使用模算術(shù)得到了很簡(jiǎn)單的結(jié)束，并由此引出了約瑟夫斯問(wèn)題――一個(gè)類似于玩牌游戲中“通吃”這一方式的典型的數(shù)字難題。

　　盡管這一部分的問(wèn)題對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)很平常，但它畢竟在重要的“數(shù)論”領(lǐng)域方面開辟了一條探索途徑。