函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，但它不像算術(shù)產(chǎn)生于遠(yuǎn)古時(shí)代，函數(shù)概念的產(chǎn)

生非常晚，至今只有三百余年歷史。函數(shù)概念的演變大體上可分為萌芽階段、形成階段、

成熟階段、近代階段和現(xiàn)代階段等五個(gè)階段。 

在公元十六世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)上占統(tǒng)治地位的是常量數(shù)學(xué)，其特點(diǎn)是用孤立、靜止的觀

點(diǎn)去研究事物。具體的函數(shù)在數(shù)學(xué)中比比皆是，但沒有一般的函數(shù)概念。十六世紀(jì)，隨著

歐洲過渡到新的資本主義生產(chǎn)方式，迫切需要天文知識(shí)和力學(xué)原理。當(dāng)時(shí)，自然科學(xué)研究

的中心轉(zhuǎn)向?qū)�運(yùn)動(dòng)、對(duì)各種變化過程和變化著的量之間依賴關(guān)系的研究。數(shù)學(xué)研究也從常

量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向了變量數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的這個(gè)轉(zhuǎn)折主要是由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾完成的，他在《幾何

學(xué)》一文中首先引入變量思想，稱為“未知和未定的量”，同時(shí)引入了兩個(gè)變量之間的相依

關(guān)系。這便是函數(shù)概念的萌芽。十七世紀(jì)，在對(duì)各種各樣運(yùn)動(dòng)的研究中，人們愈來愈感到

需要有一個(gè)能準(zhǔn)確表示各種量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念。經(jīng)過深思熟慮，人們從笛卡爾的變量

思想中得到啟示，從而引出了函數(shù)概念。據(jù)考證，十七世紀(jì)中葉，微積分的創(chuàng)始人之一德

國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲最先使用函數(shù)（function）這個(gè)名詞。不過，他指的是變數(shù)x的冪x，x，…

等等。后來才逐步擴(kuò)展到多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函

數(shù)和反三角函數(shù)以及由它們的四則運(yùn)算、各種復(fù)合所形成的初等函數(shù)。這些函數(shù)都是具體

的，都有解析表達(dá)式，并且和曲線緊密聯(lián)系在一起。那時(shí)的函數(shù)就是表示任何一個(gè)隨著曲

線的點(diǎn)的變動(dòng)而變化的量。至此，還沒有函數(shù)的一般定義。 

十八世紀(jì)初，貝努利最先擺脫具體的初等函數(shù)的束縛，給函數(shù)一個(gè)抽象的不用幾何形

式的定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是指由這個(gè)變量和常量的任何一種方式構(gòu)成的一個(gè)量。”歐拉

則更明確地說：“一個(gè)變量的函數(shù)是該變量和常數(shù)以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式�！焙�

數(shù)之間的原則區(qū)別在于構(gòu)成函數(shù)的變量與常量的組合方式的不同。歐拉最先把函數(shù)的概念

寫進(jìn)了教科書。在貝努利和歐拉看來，具有解析表達(dá)式是函數(shù)概念的關(guān)鍵所在。 

1734年，歐拉用記號(hào)y=f( x)表示變量x的函數(shù)，其中的“f”取自“function”的第

一個(gè)字母。 

十八世紀(jì)中期，由于偏微分方程中的弦振動(dòng)問題引起了關(guān)于函數(shù)概念的爭(zhēng)論，迫使數(shù)

學(xué)家接受一個(gè)更廣泛的概念。1755年歐拉給函數(shù)下了一個(gè)新的定義：如果某些量這樣地依

賴于另一些量，當(dāng)后者改變時(shí)它經(jīng)常變化，那么稱前者為后者的函數(shù)。 

法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉的工作更廣泛地展現(xiàn)了函數(shù)究竟是什么的問題，他的工作動(dòng)搖了十

八世紀(jì)的信念，那種視函數(shù)僅為解析式的觀點(diǎn)作為揭示函數(shù)關(guān)系真諦的巨大障礙終于排除

了。 

十九世紀(jì)20年代，微積分嚴(yán)格理論的奠基者柯西的函數(shù)概念，可以說是現(xiàn)代函數(shù)概

念的基礎(chǔ)，他認(rèn)識(shí)到函數(shù)是變量與變量之間的一種關(guān)系，但不足之處是仍然沒有擺脫“表

達(dá)式”之說。 

1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克萊在總結(jié)柯西和羅巴切夫斯基工作的基礎(chǔ)上，給出至今最

常用的函數(shù)定義：如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x的值都有唯一的一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng)，那

么y就是x的一個(gè)函數(shù)。至于在整個(gè)區(qū)間上y按照一種還是多種規(guī)律依賴于x，或者y依

賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表達(dá)，那都是無(wú)關(guān)緊要的。 

十八世紀(jì)以來，隨著微積分的發(fā)展，函數(shù)概念不斷變化，經(jīng)過二百多年的演變，函數(shù)

概念逐步清晰與穩(wěn)定。引入了映射概念，其一般定義為：設(shè)集合X、Y，如果X中每一個(gè)元

素x都有Y中唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么我們就把此對(duì)應(yīng)叫做從集合X到集合Y的

映射。記作f：X→Y，y=f(x)。 

二十世紀(jì)初，G·H·哈代更明確指出：函數(shù)的本質(zhì)屬性在于：y和x之間存在某種關(guān)

系，使得y的值總是對(duì)應(yīng)著某些x的值。 

隨后，O·維布倫用集合定義了變量與函數(shù)。“變量是代表某個(gè)集合中任一元素的記號(hào)�！�

“變量y的集合與另一個(gè)變量x的集合之間，如果存在著對(duì)于x的每一個(gè)值，y有確定的

值與之對(duì)應(yīng)，那么y叫做x的函數(shù)。”這個(gè)定義比此前的定義更合理、更確切，這是一個(gè)比

較完整的函數(shù)概念。 

1939年，N·布爾巴基用集合之間的映射定義了函數(shù)：

“設(shè)E和F是兩個(gè)集合，E中的每一個(gè)變?cè)?/span>x和F中的每一個(gè)變?cè)?/span>y之間的一個(gè)關(guān)系

f稱為函數(shù)，如果對(duì)每一個(gè)x∈E，都存在唯一的y∈F，它們滿足給定的關(guān)系。”記作f：E→F，

f

或者記作E??→F。

在布爾巴基的定義中，E和F不一定是數(shù)的集合。他強(qiáng)調(diào)函數(shù)是集合之間的一個(gè)映射。

因此，他所定義的函數(shù)更加廣泛。 

現(xiàn)在常用的函數(shù)概念，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念，把變量局限于實(shí)數(shù)范圍：

設(shè)x表示某數(shù)集D中的變?cè)�。�?duì)D中每一個(gè)x，按一定的法則有唯一的實(shí)數(shù)y與之對(duì)

應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)。稱x為自變量，D叫做函數(shù)的定義域，f表示對(duì)應(yīng)

法則，y的取值范圍叫做函數(shù)的值域。 

二十世紀(jì)以來，函數(shù)概念不斷擴(kuò)充，函數(shù)不僅是變數(shù)，還可以是其它變化著的事物。

還出現(xiàn)了所謂廣義函數(shù)以及函數(shù)的函數(shù)等等。但大體上可被布爾巴基的函數(shù)概念覆蓋。以

研究函數(shù)為已任的分析學(xué)，成為數(shù)學(xué)的三大基本分支之一，形成幾何、代數(shù)、分析三足鼎

立的局面。在分析學(xué)中，函數(shù)論占有重要地位，它又劃分為實(shí)函數(shù)論與復(fù)函數(shù)論兩大部分，

分工越來越細(xì)。 

我國(guó)最早使用“函數(shù)”一詞是清朝數(shù)學(xué)家李善蘭。1859年李善蘭在上海與英國(guó)人偉烈

亞力合作譯英國(guó)數(shù)學(xué)著作《代數(shù)學(xué)》時(shí)譯道：“凡式含天，為天之函數(shù)”，首次將“function”

譯成“函數(shù)”。中國(guó)古代以天、地、人、物表示未知數(shù)，“函”字即“含有”、“包含”之意。 

函數(shù)概念的演變過程，就是一個(gè)函數(shù)內(nèi)涵在不斷地被挖掘、豐富和精確刻劃的歷史過

程；同時(shí)看出數(shù)學(xué)概念并非生來就有，一成不變，而是人們?cè)趯?duì)客觀世界深入了解過程中

得到，并不斷加以發(fā)展的，從而以適應(yīng)新的需要。