勾股定理證明方法之一的培利加剖分( Perigal’s dissection)在《數(shù)學樂園·茅塞頓開》中已經(jīng)描述過，但因為勾股定理是相當重要的定理，故在此再特別舉出一些可行的證明方法，供讀者做比較．

　　下面列舉的前3個方法非常類似，而且都需要利用到4個全等的直角三角形．請將它們從卡片中剪下，并且實際練習看看．

　　(1)如圖1所示，將4個三角形排成邊長為a＋b的正方形4BCD，使中間留下邊長c的一個正方形洞(陰影部分)．

　　畫出正方形ABCD．現(xiàn)在移動三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a與b的兩個正方形洞．這么一來，圖1和圖2中的陰影部分面積必定相等，所以

c²=a²+b²

　　(2)此證明以圖1為基礎(chǔ)：

　　正方形ABCD的面積=陰影部分正方形的面積+4個三角形的面積

　　得出 a²+b²=c²

　　(3)這次將4個直角三角形的直角部分朝內(nèi)放，排成一個邊長為c的正方形PQRS(見圖3)，中間的洞(陰影部分)則是邊長為b－a的正方形．

正方形PQRS的面積=陰影部分正方形的面積+4個三角形的面積

　　得出 c²=a²+b²

　　(4)此證明于1860年首次發(fā)表，同樣也是著眼于使面積相等的概念．這題與上述的第一、第二個方法有頗多類似之處．

　　正方形ABNL的面積

　　=正方形KCOM的面積－4個三角形的面積

　　=正方形DFHI的面積－4個三角形的面積

　　=正方形DFHI的面積－長方形ACBI的面積－長方形CEFC的面積

　　=正方形ADEC的面積+正方形BCGH的面積故可得

c²=b²+a²

　　(5)介紹了許多幾何變換的方法后，這里要以有趣的切變換(shearing transformation)為基礎(chǔ)來證明勾股定理．參見圖 5．

　　將以BC為邊的正方形斜切至右方，并將以AC為邊的正方形向上切至與直線CD相連．(要記住，切變換使面積保持不變．)然后再將圖形沿直線DC切換，直到圖形抵達直線AB為止，這時圖形變成正方形ABEF．

　　以AB為邊的正方形面積=以BC為邊的正方形面積+以AC為邊的正方形面積

　　所以 c²=a²+b²

　　(6)此證明有時會利用相似三角形來解釋，但參考圖6用三角函數(shù)來證明會更容易些．

AB=AN+NB

c=b cosθ+a cosφ

　　將上式等號兩邊同時乘以c，則得

c²=b²+a²

　　(7)勾股定理最令人滿意的證明之一就是用向量來證明，參見圖7所示．

　　c²=c·c=(a+b)·(a+b)=a·a+2a·b+b·b=a²+b²

　　因為 a⊥b

　　所以a·b=0