5.3  余數

　　在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產生了余數.通常的表示是：

　　65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.

　　上面兩個算式中2和3就是余數，寫成文字是

　　被除數÷除數=商……余數.

　　上面兩個算式可以寫成

　　65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.

　　也就是

被除數=除數×商+余數.

　　通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們容易從“余數”出發去考慮問題，這正是某些整數問題所需要的.

　　特別要提請注意：在帶余除式中，余數總是比除數小，這一事實，解題時常作為依據.

　　例17 5397被一個質數除，所得余數是15.求這個質數.

　　解：這個質數能整除

　　5397-15＝5382，

　　而 5382＝2×31997×13×23.

　　因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.

　　當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到余數.

　　例18 求645763除以7的余數.

　　解：可以先去掉7的倍數630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數是6.這個過程可簡單地記成

　　645763→15763→1763→363→13→6.

　　如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：

　　645763→15000→1000→6.

　　帶余除法可以得出下面很有用的結論：

　　如果兩個數被同一個除數除余數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除.

　　例19 有一個大于1的整數，它除967，1000，2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？

　　解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即

　　1000-967＝33＝3×11，

　　2001-1000＝1001＝7×11×13，

　　2001-967＝1034＝2×11×47.

　　這個整數是這三個差的公約數11.

　　請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因為另一個差總可以由這兩個差得到.

　　例如，求出差1000-967與2001-1000，

　　那么差

　　2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）

　　＝1001＋33

　　＝1034.

　　從帶余除式，還可以得出下面結論：

　　甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除，它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數.

　　例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數是5＋9＝14被13除的余數1.

　　例20 有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的余數是多少？

　　解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的余數有什么規律，但這樣做太麻煩.根據上面說到的結論，可以采取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的余數相加，然后除以3，就得到這個數被3除的余數，這樣就很容易算出前十個數被3除的余數，列表如下：

　　從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同.因此這一串數被3除的余數，每八個循環一次，因為

　　1998＝ 8×249＋ 6，

　　所以，第1998個數被3除的余數，應與第六個數被3除的余數一樣，也就是2.

　　一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鐘點是

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

　　這十二個數構成一個循環.

　　按照七天一輪計算天數是

　　日，一，二，三，四，五，六.

　　這也是一個循環，相當于一些連續自然數被7除的余數

　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6

　　的循環.用循環制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事.

　　循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例20中余數的周期是8.研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事.

　　下面我們再舉出兩個余數出現循環現象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結論：

　　甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個余數.那么甲、乙兩數的積被這個除數除，它的余數就是兩個余數的積，被這個除數除所得的余數.

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數是 4×5＝20被 11除后的余數 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數是2×2＝4.

　　例 21 191997被7除余幾？

　　解：從上面的結論知道，191997被7除的余數與21997被7除的余數相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數.

　　先寫出一列數

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規律.列表如下：

　　事實上，只要用前一個數被7除的余數，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數被7除的余數.（為什么？請想一想.）

　　從表中可以看出，第四個數與第一個數的余數相同，都是2.根據上面對余數的計算，就知道，第五個數與第二個數余數相同，……因此，余數是每隔3個數循環一輪.循環的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道21997被7除的余數，與21997 被 7除的余數相同，這個余數是4.

　　再看一個稍復雜的例子.

　　例22 70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等于它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾？

　　解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等于前一個數的3倍減去再前一個數：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

　　……

　　不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數，算出后面的余數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什么？），從第三個數起，余數的計算辦法如下：

　　將前一個數的余數乘3，減去再前一個數的余數，然后被6除，所得余數即是.

　　用這個辦法，可以逐個算出余數，列表如下：

　　注意，在算第八個數的余數時，要出現0×3-1這在小學數學范圍不允許，因為我們求被6除的余數，所以我們可以 0×3加6再來減 1.

　　從表中可以看出，第十三、第十四個數的余數，與第一、第二個數的余數對應相同，就知道余數的循環周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十個數被6除的余數，與第十個數的余數相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

　　“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：

　　一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數.

　　這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的.這里，我們通過兩個例題，對較小的數，介紹一種通俗解法.

　　例23 有一個數，除以3余2，除以4余1，問這個數除以12余幾？

　　解：除以3余2的數有：

　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

　　它們除以12的余數是：

　　2，5，8，11，2，5，8，11，….

　　除以4余1的數有：

　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

　　它們除以12的余數是：

　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….

　　一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的余數是5.

　　上面解法中，我們逐個列出被3除余2的整數，又逐個列出被4除余1的整數，然后逐個考慮被12除的余數，找出兩者共同的余數，就是被12除的余數.這樣的列舉的辦法，在考慮的數不大時，是很有用的，也是同學們最容易接受的.

　　如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是

　　5＋ 12×整數，

　　整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3余2，除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合并成一個.然后再與第三個條件合并，就可找到答案.

　　例24 一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的最小數.

　　解：先列出除以3余2的數：

　　2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

　　再列出除以5余3的數：

　　3， 8， 13， 18， 23， 28，….

　　這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合并成一個就是

　　8＋15×整數，

　　列出這一串數是

　　8， 23， 38，…，

　　再列出除以7余2的數

　　2， 9， 16， 23， 30，…，

　　就得出符合題目條件的最小數是23.

　　事實上，我們已把題目中三個條件合并成一個：被105除余23.

　　最后再看一個例子.

　　例25 在100至200之間，有三個連續的自然數，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續自然數.

　　解：先找出兩個連續自然數，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一個連續的自然數是11.

　　3和5的最小公倍數是15，考慮11加15的整數倍，使加得的數能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56這三個連續自然數，依次分別能被3，5，7整除.

　　為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5，7的最小公倍數105.所求三數是

　　159， 160， 161.

　　注意，本題實際上是：求一個數（100～200之間），它被3整除，被5除余4，被7除余5.請考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處？