1、在左下圖中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數字同時加1或減1，這算作一次操作。經過若干次操作后，左下圖變為右下圖。問：右下圖中A格中的數字是幾？

　　分析與解：每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（見右圖）。因為每次操作總是一個黑格與一個白格的數字同時加1或減1，所以所有黑格內的數字之和與所有白格內的數字之和的差保持不變。因為原題左圖的這個差是13，所以原題右圖的這個差也是13。由（A＋12）-12=13解得 A=13。

　　2、 將1～10十個數隨意排成一排。如果相鄰兩個數中，前面的數大于后面的數，那么就交換它們的位置。如此操作下去，直到前面的數都小于后面的數為止。當1～10十個數如下排列時，需交換多少次？

　　8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。

　　分析與解：為了不打亂仗，我們按照一定的方法來交換。例如，從最大的數10開始交換，將10交換到它應在的位置后，再依次對9，8，7，…實施交換，直至按從小到大排列為止。

　　因為10后面有5個比它小的數，所以對10連續交換5次，10到了最右邊，而其它各數的前后順序沒有改變；再看9，9后面有3個比它小的數，需交換3次，9到了右邊第二位，排在10前面；再依次對8，7，6，…實施這樣的交換。

　　10后面有5個比它小的數，我們說10有5個逆序；9后面有3個比它小的數，我們說9有3個逆序；類似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，4，1，0，1個逆序。因為每個數要交換的次數就是它的逆序數，所以需交換

　　5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。

　　3、下圖是一個5×6的方格盤。先將其中的任意5個方格染黑。然后按以下規則繼續染色：

　　如果某個格至少與兩個黑格都有公共邊，那么就將這個格染黑。

　　這樣操作下去，能否將整個方格盤都染成黑色？
 

　　分析與解：以一個方格的邊長為1，開始時5個黑格的總周長不會超過4×5=20。以后每染一個格，因為這個格至少與兩個黑格都有公共邊，所以染黑后所有黑格的總周長不會增加。左下圖中，A 與4個黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長將減少4；下中圖中，A與3個黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長將減少2；右下圖中，A與2個黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長不變。也就是說按照這種方法染色，所有黑格的總周長永遠不會超過20，而5×6方格盤的周長是 22，所以不能將整個方格盤染成黑色。