解答題

　　2.用數學歸納法證明:自然數m,n對任何的3≤m≤n均有差數列.

　　3.求證:當n為正奇數時7n+1能被8整除.自然數n,f(n)>n.

　　a3,a4,并推測出{an}的通項公式,用數學歸納法加以證明.

　　求a2,a3,a4,并推測an的表達式,用數學歸納法證明所得結論.

　　答案：

　　成立.時,多了一個頂點,該頂點與原k邊形中的(k-2)個頂點可連成(k-2)條對角線,而原來的一條邊也變成對角線,故(k+1)邊形比k邊形增多了(k-1)條對角線

　　說明 本題也可用排列組合的方法證明

　　4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2

　　即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2 ∴命題成立;

　　②假設n=k(k≥3)時命題成立,即對于任何

　　a1,a2,…,an成等差數列

　　則當n=k+1時,由歸納假設a1,a2,…,ak成等差數列,設公差為d

　　令 ak+1-ak=m

　　去分母化簡得 m2+d2-2dm=0

　　于是m=d 即ak+1-ak=d

　　∴a1,a2,a3,…,ak,ak+1成等差數列

　　故對任何n∈N命題成立.

　　3.(1)n=1時,71+1=8能被8整除;

　　(2)假設n=k(k為正奇數)時7k+1能被8整除(設7k+1=8M,M∈N)

　　則當n=k+1時

　　7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48

　　=49×8m-8×6=8(49M-6)

　　∵49M-6∈N ∴命題成立.

　　4.(1)當n=2時,

　　(2)假設n=k(k≥2)不等式成立

　　因此 f(k+1)> f(k)+1> k+1.

　　(2)假設n=k時,不等式成立

　　∴ n=k+1時不等式亦成立

　　由(1),(2)可知對一切n∈N不等式都成立.

　　證明(1)當n=1時,等式成立;

　　證明略