讓數(shù)學(xué)課堂更有“思想”

　　【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動。數(shù)學(xué)方法是指某一數(shù)學(xué)活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段。因此，人們把它們稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是數(shù)學(xué)知識遷移的基礎(chǔ)和源泉，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，學(xué)生只有領(lǐng)會了數(shù)學(xué)思想方法,才能有效地應(yīng)用知識,形成能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法。

　　【關(guān) 鍵 詞】數(shù)學(xué)思想   數(shù)學(xué)教學(xué)  滲透  層次性  閱讀  遷移

　　“數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然學(xué)科和社會學(xué)科，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是數(shù)學(xué)知識遷移的基礎(chǔ)和源泉，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。眾所周知，學(xué)生畢業(yè)后成為專業(yè)數(shù)學(xué)工作者的微乎其微，直接應(yīng)用數(shù)學(xué)的人只占一小部分，絕大多數(shù)人在工作中不用數(shù)學(xué)。可以說，我們在生活、學(xué)習(xí)和工作中應(yīng)用的不僅僅是數(shù)學(xué)知識，更多的是數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生只有領(lǐng)會了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識，形成能力。在我們解決問題、進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時，也總是自覺或不自覺地運用數(shù)學(xué)思想方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法。

　　數(shù)學(xué)思想方法是借助于數(shù)學(xué)知識、技能為載體而體現(xiàn)出來的，思想要融入內(nèi)容和應(yīng)用中，才成為思想，就思想方法講思想方法，學(xué)生會感到枯燥無味，是不能真正掌握數(shù)學(xué)思想方法的。只有在教學(xué)中反復(fù)多次滲透，方能“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”，讓學(xué)生在不知不覺中領(lǐng)會、掌握，才能自覺運用，形成能力。

　　一、滲透“方法”，了解“思想”。

　　知識是思想的“軀體”，思想是知識的“靈魂”。

　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的目標(biāo)是學(xué)生在學(xué)段末最終應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)，而由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，對相應(yīng)知識的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。因而只能將數(shù)學(xué)知識作為載體，把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機，重視學(xué)生知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，逐級遞進(jìn)，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題。

　　事實上，許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，即使是對同一學(xué)段的學(xué)生而言，也不是一次可以學(xué)成的。教師在整個教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好 “了解”、“理解”、“會應(yīng)用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會感到數(shù)學(xué)思想抽象難懂，高深莫測，從而導(dǎo)致他們喪失信心。

　　二、訓(xùn)練“方法”，理解“思想”。

　　數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩條線。數(shù)學(xué)教材的每一章內(nèi)容，都體現(xiàn)著這兩條線的有機結(jié)合。這是因為沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。而在數(shù)學(xué)課上，由于能力、心理發(fā)展的限制，學(xué)生往往只注意了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的思想、觀點，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略。即使有所覺察，也是處于“朦朦朧隴”、“似有所悟”的境界。如學(xué)生學(xué)習(xí)用換元法解分式方程，對換元法的理解是按教師要求，設(shè)未知數(shù)，換元，解換元后的方程等解題步驟。學(xué)生把換元法當(dāng)作解題步驟來記憶，而未能體會出換元思想是數(shù)學(xué)中的常用的思想方法。

　　因此教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時，必需對學(xué)生進(jìn)行有意識的啟發(fā)。如用字母表示數(shù)，這是中學(xué)生學(xué)好代數(shù)的關(guān)鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術(shù)到代數(shù)，思維方式上要產(chǎn)生一個飛躍，有一個從量變到質(zhì)變的發(fā)展過程，學(xué)生始終認(rèn)為“a是正數(shù)”，“兩個數(shù)的和大于其中任何一個加數(shù)”等，對“字母表示數(shù)，它可以代表任何一個數(shù)，像已知數(shù)一樣參加運算”很不習(xí)慣，往往只見樹木，不見樹林。我們應(yīng)盡量幫助學(xué)生縮短這個“悟”的過程，在教學(xué)中多次滲透，不斷強化，逐步完成學(xué)生從數(shù)到式，由普通語言到符號語言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛躍。

　　又如，滲透化歸思想。化歸，是指把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法，轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)貫穿始終。教材中，把有理數(shù)減法、除法轉(zhuǎn)化為加法與乘法，把復(fù)雜的一元一次方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，把多元方程組化為一元一次方程，把高次方程化為低次方程，把分式方程化為整式方程，由無理方程化為有理方程，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單圖形，將未知化為已知，等等，都體現(xiàn)了化歸的思想方法。在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)合具體內(nèi)容，探索轉(zhuǎn)化方法，滲透轉(zhuǎn)化思想，逐步養(yǎng)成學(xué)生迎難而上，化難為易的品質(zhì)，這種品質(zhì)的形成可以讓學(xué)生受益終身。

　　再如，函數(shù)思想是一種對應(yīng)思想，從初中到高中教材中不斷地進(jìn)行深化，學(xué)生的認(rèn)知水平也在不斷提高。教材從初一就開始不斷滲透函數(shù)的思想觀點和方法。如，當(dāng)x=2時，求代數(shù)式3x+2的值，還可變?yōu)楫?dāng)x=2，3，4…時求代數(shù)式的值，讓學(xué)生體會，隨X的不斷變化，代數(shù)式的值也隨著變化。反過來，當(dāng)代數(shù)式值 3x+2為零時，求x的值，就變成了方程；當(dāng)x為哪些值時，代數(shù)式3x+2的值大于（小于）零，就變成了不等式。從而可用函數(shù)思想把這三者統(tǒng)一起來，經(jīng)反復(fù)多次滲透，學(xué)生的理解水平不斷提高。到了初三學(xué)生對用兩變量之間的對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)，乃至到高中用兩集合的映射來定義函數(shù)，已不再感到抽象陌生。

　　三、掌握“方法”，運用“思想”。

　　數(shù)學(xué)的思想方法蘊含在教材的內(nèi)容中，只有吃透內(nèi)容，才會領(lǐng)會基本思想，學(xué)會其中的方法。

　　很多學(xué)生只把課本當(dāng)成習(xí)題集，很少看書，這就很難領(lǐng)會其思想。常言道：“書讀百遍，其義自見”。只有讀透內(nèi)容，才能知其義，曉其理。通過閱讀可培養(yǎng)學(xué)生的閱讀、分析、思考問題的習(xí)慣，促使學(xué)生在實際情景和數(shù)學(xué)知識之間找到一個切入口，達(dá)到“此時無聲勝有聲”的效果，從而學(xué)會數(shù)學(xué)語言。通過使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行聽、說、讀、寫、譯的活動，就可以流暢地用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流，促進(jìn)學(xué)生會用數(shù)學(xué)思想方法去思考問題，解決問題。

　　如北師大版八年級下冊的課題學(xué)習(xí)——《制作視力表》，引導(dǎo)學(xué)生閱讀時，要求學(xué)生探究視力表中蘊含的數(shù)學(xué)知識，體會視力表的制作原理外，還要求學(xué)生體驗從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析現(xiàn)實生活中的某些現(xiàn)象，初步形成“用數(shù)學(xué)”的自覺意識。又如，“關(guān)于圓周率∏”，除了讓學(xué)生體會我國古代數(shù)學(xué)家劉微、祖沖之在圓周率方面的偉大成就外，主要的是讓學(xué)生在閱讀中體會極限思想，同時也讓學(xué)生明白，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與其它學(xué)科知識的創(chuàng)造類似，在得到一個正確結(jié)論之前，常常經(jīng)歷過猜想、實驗、驗證、歸納、總結(jié)等過程，是通過無數(shù)次失敗而換得的成功。

　　總而言之，教師在進(jìn)行教學(xué)時應(yīng)站在學(xué)生的角度來優(yōu)化教學(xué)過程，充分考慮學(xué)情，給學(xué)生以閱讀、思考、交流的機會，適時讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想方法，長期堅持下去必將會極大地喚起學(xué)生的主體意識，同時課堂也將充盈著春天般的生命力。

　　四、提煉“方法”，完善“思想”。

　　教學(xué)中要適時恰當(dāng)?shù)貙��?shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象。由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實處。在教學(xué)中，抓住機會，適時滲透。教學(xué)知識的發(fā)生過程，實際上也是思想方法的發(fā)生過程、思考過程。因此，概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、方法的思考過程、問題的發(fā)現(xiàn)過程、規(guī)律的被揭示過程都蘊藏著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法、訓(xùn)練思維的極好機會。

　　柏拉圖說：他從不把自己看作一個幫助別人產(chǎn)生他們自己思想的“助產(chǎn)士”。學(xué)習(xí)有一條很重要的原則，就是不可替代的原則。對于數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也不能僅僅靠灌輸。應(yīng)將概念、結(jié)論性知識的教學(xué)設(shè)計成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的教學(xué)。通過探索研究活動，讓學(xué)生在動腦、動手、動口的過程中領(lǐng)悟、體驗、提煉數(shù)學(xué)思想方法，并逐步掌握、運用它。

　　教材中為滲透數(shù)形結(jié)合思想，在七年級“有理數(shù)”一章中就先入為主，充分利用數(shù)軸，直觀形象地給出了有理數(shù)的有關(guān)概念及運算。列方程解應(yīng)用題中通過列表、圖式，可使隱含的等量關(guān)系明朗化。到了八年級，隨著無理數(shù)的引入，運用數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生對“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”就很容易理解。勾股定理及其逆定理以及直角三角形相似的判定，教材中教師用代數(shù)的方法證明的，旨在體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。說明代數(shù)的內(nèi)容也可以用幾何去解釋，同時幾何的問題也可以用代數(shù)來證明�？傊�，從數(shù)、式、方程、不等式到函數(shù)、解直角三角形、圓，無不閃爍著數(shù)形結(jié)合思想的光輝。在教學(xué)中，充分利用教材內(nèi)容，不失時機地把數(shù)與形結(jié)合起來，即把數(shù)的精確性與形的直觀性結(jié)合起來，可以收到意想不到的效果。如下面一道“標(biāo)準(zhǔn)”的代數(shù)題對初三參加興趣小組的同學(xué)就很有啟發(fā)。

　　例：求　　+    +    + ……+    的和。

　　這是高中的數(shù)列求和問題，對初中學(xué)生來說有難度，但如果設(shè)計一種情境：用一個長為1的棒，先截去　　，在截去剩下的　　，依次進(jìn)行，求截去的棒的總長。借助這一圖形直觀運用數(shù)形結(jié)合的思想。學(xué)生就有了思考的依據(jù)，就會想出求截去的棒長的方法：

　　截去的長                  剩下的長

　　1—    =

　　×            　　　     —     =

　　×             　    —    =

　　……                   ……

　　于是   +     +    +……+    =（1—   ）+（   —   ）+……+（    —  ）=1—

　　如果變?yōu)椋阂粋�長為1的棒，先截去   ，再依次截去剩下的    ，   ，……，這樣進(jìn)行n次，求截去棒子的長。和上例一樣，不難得到結(jié)果為1—   。

　　如果把這一情境再變?yōu)橐来谓厝ナＯ碌?nbsp;  ，  ，  ，  ……，      ，求截去的棒長，則又可得到：   +     +  ……+      =1—

　　這一結(jié)論的取得對高中生也不容易，但只要跟初中學(xué)生講清n!=n×(n-1)×……×3×2×1，運用數(shù)形結(jié)合的思想，增加學(xué)生的思考空間，初中生一樣能夠獲解，這一切得益于數(shù)學(xué)思想方法的升華，以及數(shù)學(xué)能力的提高。正如波利亞強調(diào)：在數(shù)學(xué)教學(xué)中“有益的思考方式、應(yīng)有的思維習(xí)慣”應(yīng)放在教學(xué)的首位。加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，必然對提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量起到積極的作用。一旦掌握數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生對知識的理解更深刻，記憶更長久，思維更靈活，遷移能力更強，使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)活動的價值和樂趣。

　　數(shù)學(xué)思想方法具有概括性、統(tǒng)攝性、導(dǎo)向性，站在“以學(xué)生的發(fā)展為本”的角度來看，在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中，教師要精心設(shè)計、有機結(jié)合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)中適時適度滲透數(shù)學(xué)思想方法將對培養(yǎng)學(xué)生“終身可持續(xù)發(fā)展”的能力有極大的好處，也是提高學(xué)生素質(zhì)的一個有效途徑和措施。

　　【參考文獻(xiàn)】：

　　【1】孔企平、張維忠、黃榮金編著《數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》北京高等教育出版社,2003.11.

　　【2】劉兼、孫曉天主編，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》北京師范大學(xué)出版社,2002.5.

　　【3】林崇德著《學(xué)習(xí)與發(fā)展》   北京師范大學(xué)出版社  1999. 7

　　【4】張永強《淺談數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)教學(xué)的作用》   甘肅教育   2006年10期