余數、同余與周期

　　一、同余的定義：

　　①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod  m)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質：

　　①自身性：a≡a(mod  m)；

　　②對稱性：若a≡b(mod  m)，則b≡a(mod  m)；

　　③傳遞性：若a≡b(mod  m)，b≡c(mod  m)，則a≡ c(mod  m)；

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod  m)，c≡d(mod  m)，則a×c≡ b×d(mod  m)；

　　⑥乘方性：若a≡b(mod  m)，則an≡bn(mod  m)；

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod  m×c)；

　　三、關于乘方的預備知識：

　　①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數特征：

　　①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

　　②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

　　五、費爾馬小定理：

    如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。