學而思奧數天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎訓練、考題學習經歷，并且奧數成績中上的學生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應用和加深各知識點，適合一些志在競賽 中奪取佳績的學生。

　　·本周試題由學而思奧數名師徐研精選、解析，以保證試題質量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時間不應超過15分鐘。

　　難度：★★★★

　　小學五年級奧數天天練：火柴

　　有兩堆火柴，兩人輪流從其中任意一堆中取出1根或幾根，每次至少要取出1根，而且不能同時從兩堆里取，誰最后把火柴取完，誰就獲勝，問如何能確保獲勝？


　　解答： 先考慮最簡單的特殊情況：

　　（1）如果兩堆火柴都只有1根，當然后取者必勝；

　　（2）如果兩堆火柴是一堆1根，一堆2根，即（1，2），這時可以看出先取者必勝.因為先取者從2根一堆的火柴中取走1根，給對方留下（1，1），成為第（1）種情況即可取勝；

　　（3）如果兩堆火柴是（2，2），若先取者從一堆中取走1根，給對方留下（1，2），成為第（2）種情況必敗；若先取者從一堆中取走2根，給對方留下（0，2），也必敗.

　　從上面的討論中，可以發現兩點：第一，如果兩堆火柴的根數相等，先取者必敗，因為這時不管先取者從一堆中取走幾根火柴，后取者都可以相應地在另一堆中也取走相同根數的火柴，總保持給先取者留下相同根數的兩堆火柴，以至最后留下（1，1）而獲勝.第二，如果兩堆火柴的根數不等，則先取者在多的一堆中，取走兩堆相差的火柴根數，給對方留下根數相等的兩堆火柴，以確保獲勝.

　　因此，必勝的策略是：

　　（1）若兩堆火柴的根數相等，則采取下列措施：

　　①讓對方先取；

　　②每次對方在一堆中取走幾根火柴，你就在另一堆中也取走幾根火柴.

　　這樣，最后的一根火柴一定是你取走.

　　（2）若兩堆火柴的根數不等，則采取下列措施：

　　①先從多的一堆中取走兩堆相差的火柴根數，給對方留下數量相等的兩堆火柴；

　　②按照（1）的方法取勝.

　　這里用到的數學原理是數學對稱.由于兩堆火柴數相同的形式是一種對稱形式，而兩堆火柴數不同的形式是一種不對稱形式，因此你每次取火柴后，兩堆火柴都呈現對稱形式，而對方每次取火柴后，兩堆火柴都是不對稱形式.故最后的對稱形式（兩堆火柴數均為零）必由你取得.

　　實際上，例2的解答也利用了對稱原理.你要想獲勝，就始終保持每次給對方留下m×m（m是自然數）的對稱形式，而對方只能給你留下m×n（m＞n，m、n是自然數）的不對稱形式，以至最后的對稱形式（0×0）是你留下的.




　　難度：★★★★★

　　
　　小學五年級奧數天天練：數字推理

　　有一串數，最前面的四個數依次是1、9、8、7，從第五個數起，每一個數都是它前面相鄰四個數之和的個位數字.問在這一串數中，會依次出現1、9、8、8這四個數嗎？


　　解答 先按題目中的要求，在1、9、8、7這4個數字的后面寫出一些數來，便可得出下列的數串：

　　1，9，8，7，5，9，9，0，3，1，3，7，4，…

　　這串數單從數字看亂七八糟，又因為按要求可以無限寫下去，所以不能采用直接寫的方法來解這題.可是如果把這串數按奇、偶數來分類，可得下面數串：

　　奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，…

　　（奇、偶分別代表奇數與偶數）

　　我們來分析這串數有什么規律.根據奇數加奇數和是偶數，奇數加偶數和是奇數，可以推出第五、六、七個數全是奇數，第八個數是偶數.再利用第五、六、七、八這四個數的奇偶性，又可推出第九、十、十一、十二個數又全是奇數，第十三個數又是偶數，…….這一來，便發現這串數從第四個數開始，以后各數按四個奇數一個偶數的規律循環排列著，而1、9、8、8是兩個奇數接兩個偶數，所以數串中不會出現1、9、8、8這四個數.