數論之整數拆分練習12

　　從不知道到知道

　　有兩個非常好的邏輯學家朋友P和S。他們在猜兩個整數x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x與y的乘積，S知道x與y的和。

　　P說：我不知道這兩個數。

　　S說：我知道你不知道。

　　P說：我知道了這兩個數。

　　S說：我也知道了。

　　根據兩人的對話，你能判斷x與y到底是多少嗎？

　　這是一道更加經典同時難度更大的趣味數學題，是精品中的精品。我們就來慢慢分析整個思維過程吧。

　　首先，兩個乘數因子不能是兩個不同素數的乘積，不然P就一定能知道兩個數是多少。

　　我們先列出100以內所有的素數，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,   37,   41,   43,   47,   53,   59,   61,   67,   71,    73,   79,   83,   89,   97。

　　我們可以用一個數表列出所有兩個素數的和，凡是在表中出現的和都不該是兩人要猜測的數的和。

　　于是，我們100以內還剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

　　34×17可以直接導出兩數之和51、38×19 可以直接導出兩數之和57，29×58可以直接導出兩數之和87，31×62可以直接導出兩數之和93，因此51、57、87、93可以排除。

　　由于53×6=106×2會導致兩數之和超過100，因此數59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

　　剩下的和數的數列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

　　我們繼續進行。

　　此數是11嗎？

　　因為24=3×8、28=4×7，S知道和為11，卻無法斷定出P。

　　此數是23嗎？

　　76=4×19,112=16×7, S知道和為23，卻無法斷定出P。

　　同樣，可以排除29、35、37、41、47、51和53這些數字和。

　　現在輪到17了。

　　S=17=2+15，P=2×15=5×6，導出S=11，11在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=6+11，P=6×11=2×33，導出S=35，35在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=7+10，P=7×10=2×35，導出S=37，37在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=8+9，P=8×9=3×24，導出S=27，27在可能的和數之列，被排除。

　　現在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，導出S=28，不在上述的和數之列。

　　答案露出水面，這兩個數是4和13。

　　簡單的描述后面，是嚴謹的邏輯和繁瑣篩選過程。出題者一定是真正的數學大師。然而，這道題到底源自何人，我不得而知。