奇偶問題練習(xí)題二
1．下列每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾個偶數(shù)？
□+□=□ □-□=□
□×□=□ □÷□=□
2．任意取出1234個連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？
3．一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和。如下所示：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
試問：這串?dāng)?shù)的前100個數(shù)（包括第100個數(shù)）中，有多少個偶數(shù)？
4．能不能將1010寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。
答案：
1.至少有6個偶數(shù)。
2.奇數(shù)。解：1234÷2=617，所以在任取的1234個連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。
3.33。提示：這串?dāng)?shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶”循環(huán)。
4.不能。
如果1010能表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間2個數(shù)的和應(yīng)當(dāng)是1010÷5=202。但中間 2個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應(yīng)是奇數(shù)，不能等于偶數(shù)202。所以，1010不能寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和。
5．能否將1至25這25個自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和？
6．在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個學(xué)生進行比賽，每兩人都賽一局。現(xiàn)知，其中有一位學(xué)生共得7分，另一位學(xué)生共得20分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。
7．在黑板上寫上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個或兩個以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個數(shù)a，b，并寫上a-b（其中a≥b）。問：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)？
8．設(shè)a1，a2，…，a64是自然數(shù)1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64；
c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32；
d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16；
……
這樣一直做下去，最后得到的一個整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？
答案：
5.不能。提示：仿例3。
6.證：設(shè)得7分的學(xué)生勝了x1局，敗了y1局，得 20分的學(xué)生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：
x1-y1=7，x2-y2＝20。
如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。
7.奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S＝1+2+…＋909是一個奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-（a-b）=2b，這是一個偶數(shù)，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數(shù)，因此終止時S仍是一個奇數(shù)。
8.偶數(shù)。
解：我們知道，對于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數(shù)
a1-a2， a3-a4，…，a63-a64，
分別與下列32個數(shù)
a1+a2， a3+a4，…，a63+a64，
有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為
第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64；
第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64；
第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；
……
最后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數(shù)，故最后一個整數(shù)是偶數(shù)
