例1： 一個(gè)住校生，家里每星期給他36元生活費(fèi)。該生每天實(shí)際只用生活費(fèi)5元，某天他小姨到學(xué)校看他并給了50元錢(qián)，他用此錢(qián)買(mǎi)了兩本喜愛(ài)的課外讀物花10元，買(mǎi)學(xué)習(xí)用具花2元，放假回家后說(shuō)明情況并給家長(zhǎng)交回55元。

　　問(wèn)：該生帶幾個(gè)星期的生活費(fèi)？實(shí)際在校住幾天？一共有多少錢(qián)？花去多少錢(qián)？

　　用方法二解：

　　列式（36×□＋50－10－2）÷5＝□……55元

　　｛36×（5＋55-50＋10＋2）＋50－10－2｝÷（5×36）

　　＝（36×22＋50－10－2）÷180

　　＝830÷180……110

　　答; 1，（110－50＋10＋2）÷36＝2， （括號(hào)內(nèi)□內(nèi)最小數(shù)）

　　2，（110－55）÷5＝11， （括號(hào)外□內(nèi)最小數(shù)）

　　3 36×2＋50＝122，

　　4，122－55＝67。

　　答：該生帶2個(gè)星期的生活費(fèi)，實(shí)際住校11天，一共有122元，花去67元。

　　例2：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué),每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人?

　　解答：5 和 9 的公倍數(shù)依次是 45、90、135、180、225 ……

　　這些公倍數(shù)中，被7除余1的數(shù)是 225

　　9 和 7 的公倍數(shù)依次是 63、126、189、252……

　　這其中，被5除余2的是 252

　　5 和 7 的公倍數(shù)是 35、70、105、140、……

　　其中被9除余5的數(shù)是 140

　　把以上 225 252 140 三個(gè)數(shù)相加，求得

　　225 + 252 + 140 = 617

　　5 7 9 三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是 5*7*9=315

　　617-315 = 302

　　因此 302 就是這個(gè)年級(jí)至少人數(shù)。

　　例3：一條長(zhǎng)長(zhǎng)的階梯，

　　如果每步跨 2 級(jí)，那么最后余 1 級(jí)；

　　如果每步跨 3 級(jí)，那么最后余 2 級(jí)；

　　如果每步跨 5 級(jí)，那么最后余 4 級(jí)；

　　如果每步跨 6 級(jí)，那么最后余 5 級(jí)；

　　如果每步跨 6 級(jí)，那么最后余 5 級(jí)；

　　只有當(dāng)每步跨7級(jí)時(shí)，最后才剛好走完.

　　問(wèn)這條臺(tái)階最少有 多少 級(jí).

　　答案：

　　如果每步跨 2 級(jí)，那么最后余 1 級(jí)；

　　可知 是個(gè)奇數(shù)如果每步跨 3 級(jí)，那么最后余 2 級(jí)；

　　可知+1就是3的整數(shù)倍如果每步跨 5 級(jí)，那么最后余 4 級(jí)；

　　可知尾是4或9.但是是個(gè)奇數(shù),所以是9如果每步跨 6 級(jí)，那么最后余 5 級(jí)；

　　可知+1就是6的整數(shù)倍只有當(dāng)每步跨7級(jí)時(shí)，最后才剛好走完.

　　可知是7的整數(shù)倍7*7=49  7*17=119  49+1不是3的倍數(shù),排除了.

　　119+1是3和6的整數(shù)倍,所以臺(tái)階有119級(jí)。

　　例4：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合這個(gè)條件的最小數(shù).孫子的解法是：

　　先從3和5、3和7、5和7的公倍數(shù)中相應(yīng)地找出分別被7、5、3除均余1的較小數(shù)15、21、70 ( 注釋:此步又稱為求"模逆"運(yùn)算,利用擴(kuò)展歐幾里得法并借助計(jì)算機(jī)編程可比較快速地求得.當(dāng)然,對(duì)于很小的數(shù),可以直接死算 ).即

　　15÷7=2……余1，

　　21÷5=4……余1，

　　70÷3=23……余1.

　　再用找到的三個(gè)較小數(shù)分別乘以所要求的數(shù)被7、5、3除所得的余數(shù)的積連加，

　　15×2+21×3+70×2=233. （將233處用i代替，用程序可以求出）

　　最后用和233除以3、5、7三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù).

　　233÷105=2……余23，

　　這個(gè)余數(shù)23就是合乎條件的最小數(shù).。

運(yùn)用中國(guó)剩余定理解題注意事項(xiàng)

　　如果整數(shù)a除以整數(shù)b所得余數(shù)是1，那么，整數(shù)a的2倍、3倍、4倍、……、（b-1）倍除以整數(shù)b所得的余數(shù)就分別是

　　1×2=2，

　　1×3=3，

　　1×4=4，

　　…………

　　1×（b-1）=b-1.

　　例如，15÷7=2……余1，即

　　2×15÷7=4……余2，

　　3×15÷7=6……余3，

　　4×15÷7=8……余4，

　　5×15÷7=10……余5，

　　6×15÷7=12……余6.

　　還請(qǐng)大家注意一條經(jīng)驗(yàn).

　　從某數(shù)a中連續(xù)減去若干個(gè)b后，求所得的要求小于數(shù)b的差數(shù)，實(shí)際上就是求數(shù)a除以數(shù)b所得的余數(shù).

　　例如，從758里連續(xù)減去若干個(gè)105后，求所得的要求小于105的差數(shù)，實(shí)際上就是求758除以105所得的余數(shù).即

　　758÷105=7……余23.