記者走訪近10所重點(diǎn)中學(xué)發(fā)現(xiàn) 入學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)是難點(diǎn) 研究生體驗(yàn)后表示——

　　小升初分班考≈國(guó)考+競(jìng)賽

　　本周，今年“小升初”進(jìn)入“最后一戰(zhàn)”階段，全市大部分重點(diǎn)中學(xué)將于本月完成“入學(xué)摸底測(cè)試”。由于現(xiàn)在小升初沒有統(tǒng)一考試了，名校生源“不整齊”，因此分班考試是孩子們一路過關(guān)斬將，升入初中后，從“虎班”進(jìn)入“龍班”的唯一途徑。

　　記者搜羅了人大附中、首師大附中、師達(dá)中學(xué)、十三中分校等近10所名校的分班考題發(fā)現(xiàn)，在最后的“獨(dú)木橋”上，數(shù)學(xué)題是難點(diǎn)，奧數(shù)做主打，題型比較多。有研究生體驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，“小升初”數(shù)學(xué)考題形似國(guó)考、神似競(jìng)賽。

　　考什么？

　　分班考試奧數(shù)占“重頭”

　　人大附中初中數(shù)學(xué)老師寧少華向記者介紹，根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)校分班考試科目涉及語、數(shù)、外3科（也有只考奧數(shù)的），但是主要還是看數(shù)學(xué)成績(jī)，考查學(xué)生的綜合能力與拓展能力。

　　其中，奧數(shù)題所占比重最大，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，題型都是中學(xué)數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中將會(huì)用到的，如行程、直線型面積、數(shù)論等。

　　數(shù)學(xué)考題=30%小學(xué)課堂知識(shí) （難度小）+65%小學(xué)奧數(shù)內(nèi)容 （難度大）+5%初一簡(jiǎn)單知識(shí)內(nèi)容（難度小）

　　題型分布表

　　分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 濃度問題整除問題 弦圖邏輯綜合 概率列方程解應(yīng)用題 公式類行程問題整數(shù)裂項(xiàng)與換元 歸納與遞推復(fù)雜工程問題 直線型面積變速變道問題 最值問題綜合

　　怎么考？

　　理清思維脈絡(luò)重點(diǎn) 5種解題思路可循

　　記者統(tǒng)計(jì)梳理了今年近10所名校“小升初”的數(shù)學(xué)考題，學(xué)而思“小升初”

　　奧數(shù)名師劉森至指出，解題過程中要使思維脈絡(luò)清晰化，思維脈絡(luò)的重點(diǎn)理清了，一切問題也就迎刃而解了，并歸納出5種解題思路。

　　解題思路一：假設(shè)法

　　典型題目：在老北京的一個(gè)胡同大雜院里，住著4戶人家，巧合的是每家都有一對(duì)雙胞胎女孩。這四對(duì)雙胞胎中，姐姐分別是

　　ABCD，妹妹分別是abcd。一天，一對(duì)外國(guó)游人夫婦來到這個(gè)大雜院里，看到她們8個(gè)，忍不住問：“你們誰和誰是一家的啊？”

　　B說：“C的妹妹是d。”C說：“D的妹妹不是c。”A說：“B的妹妹不是a。”D說：“她們?nèi)齻�(gè)人中只有d的姐姐說的是事實(shí)。”

　　如果D的話是真話，你能猜出誰和誰是雙胞胎嗎？

　　專家解析：假設(shè)B說的是事實(shí)，則C就是d的姐姐，按D的依據(jù)就是C也為真，那么出現(xiàn)有兩個(gè)人說的是事實(shí)，與題意矛盾，所以B說的不是事實(shí)，同時(shí)也知道C不是d的姐姐，則B、C的話都是假的，所以只有A說的是真話，則A就是d的姐姐，A說B的妹妹不是a，又不可能是d，所以B的妹妹只可能是b或c。根據(jù)C的假話知道D的妹妹就是c，B的妹妹就是b，最后C的妹妹就是a。

　　解題思路二：計(jì)算法

　　典型題目1：烏龜和兔子賽跑的原版，是由于兔子過于貪玩烏龜勝出了。現(xiàn)在有一總長(zhǎng)4.2km的路程，兔子每小時(shí)跑

　　20km，烏龜每小時(shí)跑3km。烏龜不停地跑。但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分鐘，然后玩15分鐘。又跑2分鐘，再玩15分鐘……那么，先到終點(diǎn)的比后到終點(diǎn)的要快多少分鐘？

　　專家解析：根據(jù)它們的行駛速度可首先推斷出各自所用時(shí)間：烏龜跑了4.2÷3×60＝84分鐘，兔子跑了4.2÷20×60＝12.6分鐘，兔子在跑完全程所用的時(shí)間為1＋15＋2＋15＋3＋15＋4＋15＋2.6=72.6分鐘。

　　所以兔子先到終點(diǎn)，并且快于烏龜84－72.6＝11.4分鐘。

　　典型題目2：一個(gè)人在一個(gè)大戶人家里做仆人。大戶人家的主人給仆人一根3尺長(zhǎng)，寬厚均為1尺的木料，讓仆人把這塊木料做成木柱。仆人就把這塊木料放到秤上稱了一下，知道這塊木料重3kg，即將做成的木柱只重

　　2kg。于是仆人從方木上砍去1立方尺的木材，但主人認(rèn)為仆人這樣做不合理。仆人該怎么向主人解釋呢？

　　專家解析：仆人可以做一個(gè)箱子，保證箱子內(nèi)部的尺寸與最初的方木相同，然后將雕刻好的木柱放入箱子內(nèi)，再向箱子里加入沙土，直至把箱子完全填實(shí)，并且使箱內(nèi)沙土與箱口齊平。

　　之后仆人可以輕輕將木柱取出，保證不帶出沙粒，再把箱內(nèi)的沙土搗平，量出剩余的深度為1尺，即木柱所占的空間為2立方尺。即證明仆人砍的沒錯(cuò)。

　　解題思路三：排除法

　　典型題目1：張濤、李明和趙亮三人住在三個(gè)相鄰的房間內(nèi)，他們之間滿足這樣的條件：

　　（1）每個(gè)人喜歡一種寵物，一種飲料，一種啤酒，不是兔就是貓，不是果粒橙就是葡萄汁，不是青島就是哈爾濱；（2）張濤住在喝哈爾濱者的隔壁；（3）李明住在愛兔者的隔壁；（4）趙亮住在喝果粒橙者的隔壁；（5）沒有一個(gè)喝青島者喝果粒橙；（6）至少有一個(gè)愛貓者喜歡喝青島啤酒；（7）至少有一個(gè)喝葡萄汁者住在一個(gè)愛兔者的隔壁；（8）任何兩人的相同愛好不超過一種。

　　問：住中間房間的人是誰？

　　專家解析：根據(jù)條件1，每個(gè)人的三愛好組合必是下列組合之一：A．葡萄汁，兔，哈爾濱；B．葡萄汁，貓，青島；C．果粒橙，兔，青島；D．果粒橙，貓，哈爾濱；E．葡萄汁，兔，青島；F．葡萄汁，貓，哈爾濱；G．果粒橙，兔，哈爾濱；H．果粒橙，貓，青島。根據(jù)條件5，可以排除C和H。

　　于是，根據(jù)條件6，B是某個(gè)人的三嗜好組合；根據(jù)條件8，E和F可以排除；再根據(jù)條件8，D和G不可能分別是某兩人的三嗜好組合；因此A必定是某個(gè)人的三嗜好組合； 然后根據(jù)條件8，可以排除G；于是余下來的D必定是某個(gè)人的三愛好組合。

　　根據(jù)2、3和4，住房居中的人符合下列情況之一：喝青島而又愛兔，2.喝青島而又喝果粒橙，3.愛兔而又喝果粒橙。既然這三人的三愛好組合分別是A、B和D，那么住房居中者的三愛好組合必定是A或者D，那么三個(gè)人的房間排序如下所示：B、A、D或B、D、A。

　　根據(jù)條件7，可排除D；因此，根據(jù)條件4，趙亮的住房居中。

　　典型題目2：有10個(gè)人站成一隊(duì)，每個(gè)人頭上都戴著一頂帽子，帽子有

　　3頂紅的，4頂黑的，5頂白的。每個(gè)人不能看到自己的帽子，只能看到前面的人的，最后一個(gè)人能夠看到前面9個(gè)人的帽子顏色，倒數(shù)第二個(gè)人能夠看到前面8個(gè)人的帽子顏色，以此類推，第一個(gè)人什么也看不到。

　　現(xiàn)在從最后面的那個(gè)人開始，問他是不是知道自己所戴帽子的顏色，如果他回答不知道，就繼續(xù)問前面的人。如果后面的9個(gè)人都不知道，那么最前面的人知道自己顏色的帽子嗎？為什么？

　　專家解析：最后一個(gè)人不知道自己所戴帽子的顏色，那么他的帽子和剩下的兩頂帽子屬于兩種以上的顏色，通過排除，知道他的帽子和剩下的兩頂帽子分屬于三種顏色，第九個(gè)人不能判斷自己所戴帽子的顏色，也是如此，以此類推，第一個(gè)人就能知道自己帽子的顏色為白色。

　　解題思路四：分析法

　　典型題目：兩個(gè)直徑分別是2和4的圓環(huán)，如果小圓在大圓內(nèi)部繞大圓轉(zhuǎn)一周，那么小圓自身轉(zhuǎn)了幾周？如果在大圓的外部轉(zhuǎn)，小圓自身又要轉(zhuǎn)幾周呢？

　　專家解析：兩圓的直徑分別為2、4，那么半徑分別為1、2。假如把大圓剪開并拉直，那么小圓繞大圓轉(zhuǎn)一周，就變成從直線的一頭移動(dòng)到另一頭。因?yàn)檫@條直線長(zhǎng)就是大圓的周長(zhǎng)，是小圓周長(zhǎng)的2倍，所以小圓需要滾動(dòng)2圈。

　　但現(xiàn)在小圓在沿大圓滾動(dòng)的同時(shí)，自身還要轉(zhuǎn)動(dòng)。小圓在沿著大圓滾動(dòng)1周并回到原出發(fā)點(diǎn)的同時(shí)，小圓自身也轉(zhuǎn)了1周。

　　如果小圓在大圓的內(nèi)部滾動(dòng)，其自轉(zhuǎn)的方向與滾動(dòng)的轉(zhuǎn)向相反，因此小圓自身轉(zhuǎn)了1周；如果小圓在大圓的外部滾動(dòng)，其自轉(zhuǎn)的方向與滾動(dòng)的轉(zhuǎn)向相同，因此小圓自身轉(zhuǎn)了3周。

　　解題思路五：觀察法

　　典型題目：觀察圖形：○●○●●○●●●●○●●●●●●●●○……前200個(gè)珠子中有多少個(gè)黑色的？

　　專家解析：看圖形可知，白色珠子一次一個(gè)，黑珠子除第一個(gè)外，其余是按照2的n次方的規(guī)律排下去。第一塊黑珠子有1個(gè)，第二塊有2個(gè)，第三塊有2*2=4個(gè)，第四塊有2*2*2=8個(gè)，第五塊有2*2*2*2=16個(gè)，第六塊有2*2*2*2*2=32個(gè)，第七塊有 2*2*2*2*2*2=64 個(gè) ， 第八塊有2*2*2*2*2*2*2=128個(gè)。

　　這樣可推斷出，前200個(gè)珠子中有8個(gè)白的，有192個(gè)是黑的。

　　研究生體驗(yàn)

　　形似國(guó)考題神似競(jìng)賽題

　　記者拿著搜羅的分班考試題找到正在清華大學(xué)就讀研究生二年級(jí)的李永新，僅10道題，他就做了近兩個(gè)小時(shí)，A4大的草稿紙用了2張，密密麻麻畫滿了演算圖、公式、思路過程。

　　“這和我去年年底參加公務(wù)員考試的題目非常接近。”他表示，從題目看和國(guó)考題非常相似，解題就是繞圈子，需要考生的分析能力超強(qiáng)，解題對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)大四學(xué)生王曼寧在做過試題后告訴記者，去年年底，她參加了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)在做這些題，好像似曾相識(shí)。有些分析題已經(jīng)涉及大學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并需要利用數(shù)學(xué)建模的知識(shí)。

　　●名詞解釋

　　數(shù)學(xué)建模

　　當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子。

　　也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過計(jì)算得到的模型結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

　　本版文/記者蒲長(zhǎng)廷王晟