計數之歸納法練習一

　　對于比較復雜的問題，可以先觀察其簡單情況，歸納出其中帶規律性的東西，然后再來解決較復雜的問題。

　　習題1：10個三角形最多將平面分成幾個部分?

　　解：設n個三角形最多將平面分成an個部分。

　　n=1時，a1=2;

　　n=2時，第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有2個交點，三條邊與第一個三角形最多有2×3=6(個)交點。這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成2個部分，從而平面也增加了6個部分，即a2=2+2×3。

　　n=3時，第三個三角形與前面兩個三角形最多有4×3=12(個)交點，從而平面也增加了12個部分，即：

　　a3=2+2×3+4×3。

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　　一般地，第n個三角形與前面(n-1)個三角形最多有2(n-1)×3個交點，從而平面也增加2(n-1)×3個部分，故

　　an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3

　　=2+[2+4+…+2(n-1)]×3

　　=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。

　　特別地，當n=10時，a10=3×102+3×10+2=272，即10個三角形最多把平面分成272個部分。