16．約數與倍數

　　約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

　　公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

　　最大公約數的性質：

　　1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

　　2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

　　3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

　　4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

　　例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；

　　18的約數有：1、2、3、6、9、18；

　　那么12和18的公約數有：1、2、3、6；

　　那么12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6；

　　求最大公約數基本方法：

　　1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

　　2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

　　3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。

　　公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

　　12的倍數有：12、24、36、48……；

　　18的倍數有：18、36、54、72……；

　　那么12和18的公倍數有：36、72、108……；

　　那么12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36；

　　最小公倍數的性質：

　　1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

　　2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

　　求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

　　17．數的整除

　　一、基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；

　　二、整除判斷方法：

　　1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

　　②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性質：

　　1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

　　2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

　　18．余數及其應用

　　基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余數的性質：

　　①余數小于除數。

　　②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

　　③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

　　④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。