六年級奧數課堂：數論的方法技巧之一

　　數論是研究整數性質的一個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數論問題敘述簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作。”所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重。

　　小學數學競賽中的數論問題，常常涉及整數的整除性、帶余除法、奇數與偶數、質數與合數、約數與倍數、整數的分解與分拆。主要的結論有：

　　1．帶余除法：若a，b是兩個整數，b＞0，則存在兩個整數q，r，使得

　　a=bq+r（0≤r＜b），

　　且q，r是唯一的。

　　特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數，a是b的倍數。

　　2．若a|c，b|c，且a，b互質，則ab|c。

　　3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

　　其中p1＜p2＜…＜pk為質數，a1，a2，…，ak為自然數，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質因數分解或標準分解。

　　4．約數個數定理：設n的標準分解式為（1），則它的正約數個數為：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

　　5．整數集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。

　　下面，我們將按解數論題的方法技巧來分類講解。