劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)

　　圓周率是對(duì)圓形和球體進(jìn)行數(shù)學(xué)分析時(shí)不可缺少的一個(gè)常數(shù)，各國(guó)古代科學(xué)家均將圓周率作為一個(gè)重要課題。我國(guó)最早采用的圓周率數(shù)值為三，即所謂“徑一周三”。《九章算術(shù)》中就采用了這個(gè)數(shù)據(jù)，“方田”中有這樣一個(gè)問(wèn)題“今有圓田，周三十步，徑十步，問(wèn)田有幾何？”很顯然，這個(gè)數(shù)值不能滿(mǎn)足精確計(jì)算的要求。漢代一些數(shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn)了這一問(wèn)題，并在實(shí)際應(yīng)用時(shí)采用多種圓周率數(shù)值。經(jīng)過(guò)他們的努力，數(shù)值精確度雖有提高，但大多是經(jīng)驗(yàn)成果，缺少理論基礎(chǔ)。

　　圓周率計(jì)算上的有所突破，有賴(lài)于有效方法的誕生，這種方法就是割圓術(shù)。劉徽經(jīng)過(guò)深入研究，他發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形周長(zhǎng)可無(wú)限逼近圓周長(zhǎng)，從而創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。

　　割圓術(shù)的主要內(nèi)容是：一、在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，每邊邊長(zhǎng)均等于半徑；再作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長(zhǎng)，如此類(lèi)推，從內(nèi)接n邊形的邊長(zhǎng)可推知內(nèi)接2n邊形的邊長(zhǎng)。二、從圓內(nèi)接正n邊形每邊邊長(zhǎng)，可求得內(nèi)接2n邊形的面積。如圖正十二邊形的一部分（四邊形OADB）的面積，等于正六邊形邊長(zhǎng)AB乘以半徑OD的一半，這樣，即使邊數(shù)極多的內(nèi)接正多邊形面積也可以一步步求解。三、圓的面積介于兩個(gè)可求得的值之間。

　　依據(jù)極限觀念，劉徽指出：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長(zhǎng)和面積越來(lái)越接近圓周長(zhǎng)和圓面積，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。將這種極限思想和上述不等式結(jié)合起來(lái)，通過(guò)不斷增加多邊形邊數(shù)，就可以從不足近似值和過(guò)剩近似值兩個(gè)方面逼近圓周率的真值。這兩個(gè)數(shù)據(jù)的精確度是當(dāng)時(shí)世界上前所未有的。

　　與劉徽類(lèi)似的是，古希臘的阿基米德也用正多邊形法去求圓周率。但是阿基米德是用歸謬法證得這一結(jié)果的，避開(kāi)了極限概念，而劉徽卻大膽地應(yīng)用了以直代曲、無(wú)限趨近的思想方法；且阿基米德的方法需另外計(jì)算圓外切正多邊形面積，劉徽的方法則只需求內(nèi)接正多邊形面積。與阿基米德比，劉徽的割圓術(shù)可謂事半功倍。