規定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然數。

　　例4.    求1△100的值。已知x△10=75,求x.

　　思路導航：

　　（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050

　　（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,

　　所以

　　10X+(1+2+3+…+9)=75

　　10x+45=75

　　10x=30

　　x=3

　　二、鞏固訓練

　　1.    若對所有b,a△b =a×x,x是一個與b無關的常數；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。

　　求（1△4）☆2的值。

　　分析   注意本題有兩種運算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x.

　　解   因為（1△3）☆3=1△（3☆3），所以（1×x）

　　即

　　（x+3）÷2=x

　　x+3=2x

　　x=3

　　因為（1△4）☆2

　　=（1×4）☆2

　　=（4+2）÷2

　　=3

　　2.    如果規定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

　　解題思路

　　依題意可以看出：定義的新運算為連續三個數的乘積，而且，⑤里的數就是三個連續數中的中間的哪個數，即③是2，3，4三個連續的乘積，④是3，4，5三個連續睡的乘積，從而不難求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

　　解：原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4

　　=720+504+-339+210-120+60-24

　　=1014

　　三、能力提升

　　答案

　　（三） 不規則圖形面積計算（1）

　　我們曾經學過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規則圖形.我們的面積及周長都有相應的公式直接計算.如下表：

　　實際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規則圖形。

　　那么，不規則圖形的面積及周長怎樣去計算呢？我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法將它們轉化為基本圖形的和、差關系，問題就能解決了。

　　一、例題與方法指導

　　例1    如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。

　　思路導航：

　　陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個"空白"三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面積之和。

　　例2        如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.

　　思路導航：

　　∵△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，

　　∴四邊形 AECF的面積與△ABE、△ADF的面積都等于正方形ABCD的 。

　　在△ABE中，因為AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

　　∴△ECF的面積為2×2÷2=2。

　　所以S△AEF=S四邊形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

　　例3        兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。

　　思路導航：

　　在等腰直角三角形ABC中

　　∵AB=10

　　∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

　　∴陰影部分面積=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

　　例4        如右圖，A為△CDE的DE邊上中點，BC=CD，若△ABC（陰影部分）面積為5平方厘米.

　　求△ABD及△ACE的面積.

　　思路導航：

　　取BD中點F，連結AF.因為△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，

　　所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.

　　∴△ACD的面積等于15平方厘米，△ABD的面積等于10平方厘米。

　　又由于△ACE與△ACD等底、等高，所以△ACE的面積是15平方厘米。

　　二、鞏固訓練

　　1.    如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DEC的面積的 ，求正方形ABCD的面積。

　　解：過E作BC的垂線交AD于F。

　　在矩形ABEF中AE是對角線，所以S△ABE=S△AEF=8.

　　在矩形CDFE中DE是對角線，所以S△ECD=S△EDF。

　　2.    如右圖，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD= BC.求陰影部分的面積。

　　解：連結DF。∵AE=ED，

　　∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED

　　3.    如右圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？

　　解：連結AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.

　　∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，

　　∴S△AGD=AH×DG÷2，

　　∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），