小學(xué)數(shù)學(xué)文化：巧分乳酪

　　喬記餐館雖說(shuō)吃食不算，但卻以美味乳酪而遠(yuǎn)近聞名。塊塊乳酪狀如圓盤，繞有風(fēng)趣。一刀下去，就把一塊乳酪一切為二。連切兩刀，不難將其分成四塊，三刀則切成六塊。一天，女招待羅西請(qǐng)喬把乳酪切成八塊。喬：“好，羅西。很簡(jiǎn)單，我只要這樣切四刀就成了。羅西把切好的乳酪往桌子上送時(shí)，忽然悟到喬只需要切三刀便可以把乳酪分成八塊。羅西想出了什么妙主意？

　　羅西豁然開(kāi)朗，悟到圓柱形乳酪是一個(gè)立體圖形，可以在中線處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動(dòng)切開(kāi)的部分，那么連切三刀也行�？梢园训谝淮吻虚_(kāi)的兩塊迭放在一起，切第二刀成四塊，再把四塊跌放在一起，最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此簡(jiǎn)單，幾乎可以說(shuō)是平凡的。然而它給人以明確的啟示：對(duì)于有意義的切分問(wèn)題，可以用有限差分演算進(jìn)行研究并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項(xiàng)公式的有力工具。今天，數(shù)字序列日益引起人們的興趣，因?yàn)樗�具有極其廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍，還因?yàn)橛?jì)算機(jī)能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運(yùn)算。

　　羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線同時(shí)切數(shù)刀。乳酪具有如同薄餅?zāi)菢悠教沟捻斆�。讓我們�?lái)觀察一下，根據(jù)在一張薄餅上切數(shù)刀的過(guò)程，能夠生成一些什么數(shù)字序列。假如沿著薄餅若干中線同時(shí)切數(shù)刀，顯然，同時(shí)切n刀至多可以切出2n塊。

　　若在其邊沿為一條簡(jiǎn)單閉合曲線的任意平面上同時(shí)切下n刀，這種方法所切成的塊數(shù)，是否最多也是2n塊呢？否�？梢噪S意畫(huà)出許多既非凸面，并且形狀各異的平面，即使一刀也可切成你所希望的塊數(shù)。能否畫(huà)出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長(zhǎng)應(yīng)具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的n塊？若不同時(shí)進(jìn)行切分，薄餅的切分將更為有趣。你很快會(huì)發(fā)現(xiàn)：僅當(dāng)n〉=3時(shí)，切n刀方可切成不止2n塊。

　　這里，我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當(dāng)n=1，2，3，4。。。時(shí)，可以切成的最多塊數(shù)分別是2，4，7，11。這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的：

　　1+n（n+1）/2

　　其中，n是所切的刀數(shù)。此序列的前10項(xiàng)（n自0開(kāi)始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46……

　　請(qǐng)注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9……第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，……

　　這強(qiáng)烈地暗示著此序列的普通項(xiàng)是一個(gè)二次項(xiàng)。

　　為什么說(shuō)“強(qiáng)烈暗示”呢？因?yàn)殡m然可以用有限差分演算找到一個(gè)公式，但是并不能保證該公式對(duì)于無(wú)限序列也成立。這一點(diǎn)尚需證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法做出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。

　　從這點(diǎn)出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。這里有一些問(wèn)題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？

　　1.在馬蹄形的薄餅上切n刀。

　　2.在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切n刀。

　　3.用切小圓甜餅的刀在薄餅上切n刀。

　　4.在狀如燭環(huán)狀（即中心有一個(gè)圓孔）的薄餅上切n刀。

　　5.在油炸圈（圓環(huán)）上切n刀。