小學數學文化：不合邏輯

　　“不合邏輯”是各種數學悖論的來源。你能想一個命題，使得它和它的否定形式同時成立嗎？令人難以置信的是，這樣的命題真的存在。“這句話是七字句”就是這樣一種奇怪的命題。它的否定形式是“這句話不是七字句”，同樣是成立的。你肯定會大叫“賴皮”，命題的真假與這個命題本身的形式有關，這樣的命題算數學命題嗎？沒錯，這些涉及到自己的命題都叫做“自我指涉命題”，它們的出現會引發很多令人頭疼的問題。從說謊者悖論（Liarparadox）到羅素悖論（Russell‘sparadox），各種邏輯悖論的產生根源幾乎都是自我指涉。數理邏輯中的不合邏輯遍地都是，它們直接引發了數學的第三次數學危機。

　　歐拉不合邏輯的證明法

　　在數學，很多漂亮的定理最初的證明都是錯誤的。最典型的例子可能就是1735年大數學家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經仔細研究過所有完全平方數的倒數和的極限值，并且給出了一個漂亮的解答：這是一個出人意料的答案，圓周率π毫無征兆地出現在了與幾何完全沒有關系的場合中。歐拉的證明另辟蹊徑，采用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據方程sin(x)/x=0的解，對sin(x)/x的級數展開進行因式分解，再利用對比系數的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進行因式分解的方法只適用于有限多項式，在當時的數學背景下，這種方法不能直接套用到無窮級數上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴格的類比，卻得出了正確的結果。