華數(shù)思維訓(xùn)練導(dǎo)引 三年級(jí)上學(xué)期 第05講 數(shù)列與數(shù)表問題第01講 數(shù)列規(guī)律

    1、下面是兩個(gè)具有一定的規(guī)律的數(shù)列，請(qǐng)你按規(guī)律補(bǔ)填出空缺的項(xiàng)：
    (1)1，5，11，19，29，________，55； (2)1，2，6，16，44，________，328。

    解答：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差為：6、8、10、......所以，應(yīng)填41（=29+12），41+14=55符合。
    （2）觀察發(fā)現(xiàn)，6=2*（2+1），16=2*（2+6），44=2*（16+6），所以，應(yīng)填120=2*（44+16），2*（120+44）=328符合。

    2、有一列由三個(gè)數(shù)組成的數(shù)組，它們依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……。問第99個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和是多少？

    解答：觀察每一組中對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字，每組第一個(gè)是1、2、3、......的自然數(shù)列，第二個(gè)是5、10、15、......，分別是它們各組中第一個(gè)數(shù)的5倍，第三個(gè)10、20、30、......，分別是它們各組中第一個(gè)數(shù)的10倍；所以，第99組中的數(shù)應(yīng)該是：99、99*5、99*10，三個(gè)數(shù)的和=99+99*5+99*10=1584。

    3、0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。上面這個(gè)數(shù)列是小明按照一定的規(guī)律寫下來的，他第一次先寫出0，1，然后第二次寫出2，3，第三次接著寫6，7，第四次又接著寫14，15，依次類推。那么這列數(shù)的最后3項(xiàng)的和應(yīng)是多少？

    解答：觀察發(fā)現(xiàn)，在0、1后寫2、3，2=1*2；在2、3后面寫6、7，6=3*2；在6、7后面寫14、15，14=7*2；在14、15后面寫30，30=15*2；所以，后三項(xiàng)應(yīng)填31、62（=31*2）、63，和為31+62+63=156。

    4、仔細(xì)觀察下面的數(shù)表，找出規(guī)律，然后補(bǔ)填出空缺的數(shù)字。

    解答：觀察發(fā)現(xiàn)，（1）第二行的數(shù)字比第一行對(duì)應(yīng)位的數(shù)字都大21，所以應(yīng)該填58+21=79；（2）第一列的數(shù)字是同行中后兩列的數(shù)之和，所以應(yīng)該填28-9=19。

    5、圖5-3中各個(gè)數(shù)之間存在著某種關(guān)系。請(qǐng)按照這一關(guān)系求出數(shù)a和b。

    解答：圖中5個(gè)圓、10個(gè)數(shù)字，其中5個(gè)數(shù)字是只屬于某一個(gè)圓本身的，5個(gè)數(shù)字是每?jī)蓚�(gè)圓相重疊的公共區(qū)域的，觀察發(fā)現(xiàn)，兩圓重疊部分的公共區(qū)域的數(shù)字2倍，正好等于兩圓獨(dú)有數(shù)字之和，15*2=10+20，30*2=20+40；所以，a=2*17-10=24，b=（16+40）/2=28。驗(yàn)算：20*2-16=24，符合。

    6、將8個(gè)數(shù)從左到右排成一行，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)數(shù)之和。如果第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)分別是81，131，那么第一個(gè)數(shù)是多少？

    解答：根據(jù)數(shù)列規(guī)律倒推，第6個(gè)數(shù)=131-81=50，第5個(gè)數(shù)=81-50=31，第4個(gè)數(shù)=50-31=19，第三個(gè)數(shù)=31-19=12，第2個(gè)數(shù)=19-12=7，第個(gè)數(shù)=12-7=5。

    7、1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…。上面是一串按某種規(guī)律排列的自然數(shù)，問其中第101個(gè)數(shù)至第110個(gè)數(shù)之和是多少？

    解答：觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的規(guī)律為三個(gè)一組、三個(gè)一組，每一組的第一個(gè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，每一組中的三個(gè)數(shù)為連續(xù)自然數(shù)；101/3=33......2，說明第101個(gè)是第33+1=34組中的第二個(gè)數(shù)，那么應(yīng)該是34+1=35；從101到110共有110-101+1=10個(gè)數(shù)，那么這10個(gè)數(shù)分別是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他們的和為35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365。

    8、如果把1到999這些自然數(shù)按照從小到大的順序排成一排，這樣就組成了一個(gè)多位數(shù)：12345678910111213…996997998999。那么在這個(gè)多位數(shù)里，從左到右的第2000個(gè)數(shù)字是多少？

    解答：一位數(shù)1~9共有9個(gè)；二位數(shù)10~99共有90個(gè)，占90*2=180位；一、二位數(shù)共占了189位；2000-9-180=1811，這1811個(gè)位數(shù)都是三位數(shù)，1811/3=603......2，說明第2000個(gè)數(shù)是第604個(gè)三位數(shù)的第2位，三位數(shù)從100開始，第604個(gè)應(yīng)該是603，第二位就是0。因此，從左到右的第2000個(gè)數(shù)字是0。

    9、標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G記號(hào)的7盞燈順次排成一行，每盞燈各安裝著一個(gè)開關(guān)。現(xiàn)在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈是滅的。小方先拉一下A開關(guān)，然后拉B，C，…，直到G的開關(guān)各一次，接下去再按從A到G順序拉動(dòng)開關(guān)，并依此循環(huán)下去。他這樣拉動(dòng)了1990次后，亮著的燈是哪幾盞？

    解答：如果一個(gè)燈的開關(guān)被拉了2下，那么，這個(gè)燈原來是什么狀態(tài)，還應(yīng)該是什么狀態(tài)，即原來亮著的還亮著，原來不亮的還是不亮�，F(xiàn)在共有7盞燈，每個(gè)拉2次的話就是14次。也就是說，每拉14下，每個(gè)燈都和原來的情況一樣。1990/14=142......2，說明，拉1990次就相當(dāng)于只拉了2次，那么就應(yīng)該是A和B各被拉了一下。A原來亮著，現(xiàn)在變滅；B原來不亮，現(xiàn)在變亮。所以，拉1990次后亮著的燈應(yīng)該有：B、C、D、G。

    10、在1，2兩數(shù)之間，第一次寫上3；第二次在1，3之間和3，2之間分別寫上4，5，得到
1    4    3    5    2。
以后每一次都在已寫上的兩個(gè)相鄰數(shù)之間，再寫上這兩個(gè)相鄰數(shù)之和。這樣的過程共重復(fù)了8次，那么所有數(shù)的和是多少？

    解答：原來兩數(shù)之和：1+2=3；操作一次：1+3+2=6=3+3；操作2次：1+4+3+5+2=15=3+3+9；操作3次：1+5+4+7+3+8+5+7+2=42=3+3+9+27；......規(guī)律是，操作n次，和為3+3^1+3^2+3^3+......+3^n,所以，操作8次的和為3+3^1+3^2+3^3+......+3^8=9843。

    11、有一列數(shù)：1，1989，1988，1，1987，…。從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差。那么第1989個(gè)數(shù)是多少？

    解答：為了找到規(guī)律，我們把這列數(shù)再往下寫出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…這樣我們可以很容易的看出規(guī)律了，即每三個(gè)一組，第一個(gè)為1，后兩個(gè)是從1989依次減1排下去；1989/3=663，共有663組，去掉每一組中的1，剩下663*2=1326個(gè)，從1989順序遞減，到最后一個(gè)應(yīng)該是1989-1326+1=664。所以，第1989個(gè)數(shù)是664。

    12、在1，9，8，9后面順次寫出一串?dāng)?shù)字，使得每個(gè)數(shù)字都等于它前面兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字，即得到1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么這個(gè)數(shù)串的前398個(gè)數(shù)字的和是多少？

    解答：同上一題所講的思路一樣，我們需要再往下寫一些，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9，…這是我們已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律了，即它們會(huì)以8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1不斷循環(huán)，也即從第3個(gè)數(shù)開始，每12個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)。那么，（398-2）/12=33，即供循環(huán)33次；一個(gè)循環(huán)的數(shù)字和為8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60，前398個(gè)數(shù)字的和=1+9+33*60=1990。

    13、有一列數(shù)：2，3，6，8，8，…從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)字，那么這一列數(shù)中的第80個(gè)數(shù)是多少？

    解答：還是上面的思路，需要再往下寫一些，尋找規(guī)律：2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，…不難發(fā)現(xiàn)，規(guī)律是從第三個(gè)數(shù)開始，每6個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，那么，（80-2）/6=13，所以，第80個(gè)數(shù)是8。

    14、1999名學(xué)生從前往后排成一列，按下面的規(guī)則報(bào)數(shù)：如果某個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是一位數(shù)，后面的同學(xué)就要報(bào)出這個(gè)數(shù)與9的和；如果某個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是兩位數(shù)，后面的同學(xué)就要報(bào)出這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)與6的和。現(xiàn)在讓第一個(gè)同學(xué)報(bào)1，那么最后一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是多少？

    解答：按照要求，我們先寫出前面的一些數(shù)，尋找規(guī)律：1，10，6，15，11，7，16，12，8，17，13，9，18，14，10，......規(guī)律是：從第2個(gè)數(shù)開始，每13個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)；（1999-1）/13=153......9，所以，最后一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是17。

    15、將從1到60的60個(gè)自然數(shù)排成一行，成為111位自然數(shù)，即12345678910111213…5960。在這111個(gè)數(shù)字中劃去100個(gè)數(shù)字，余下數(shù)字的排列順序不變，那么剩下的11位數(shù)最小可能是多少？

    解答：為了使剩下的數(shù)盡可能小，那么除留下第一個(gè)1外，后面應(yīng)盡可能多的留下0，1~60共有6個(gè)0，并且有一個(gè)是在最后，所以，第一個(gè)1后面只能留下5個(gè)0，也就是說，到50為止，前面除第一個(gè)1外只留下0，這時(shí)便成10000051525354555657585960；除了第一個(gè)1和6個(gè)0外，還要留下4個(gè)數(shù)，不難看出，應(yīng)該留下51525354中的1234，所以，剩下的11位數(shù)最小可能是10000012340。