歐拉公式

　　簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關(guān)系

　　v+f-e=2

　　這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

　　認(rèn)識歐拉

　　歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到著名數(shù)學(xué)家貝努利的精心指導(dǎo).歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發(fā)表了700多篇論文。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年。

　　歐拉著作驚人的高產(chǎn)并不是偶然的。他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，可以使他在任何不良的環(huán)境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。當(dāng)他寫出了計算天王星軌道的計算要領(lǐng)后離開了人世。歐拉永遠(yuǎn)是我們可敬的老師。

　　歐拉研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學(xué)分支，對物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂都有研究!有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯(gauss，1777-1855)曾說過“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。歐拉還是數(shù)學(xué)符號發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號，例如 π，i，e，sin，cos，tg，σ，f (x)等等，至今沿用。

　　歐拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創(chuàng)了“圖論”的研究。歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)v、棱數(shù)e、面數(shù)f之間總有關(guān)系v+f-e=2，此式稱為歐拉公式。 v+f-e即歐拉示性數(shù)，已成為“拓?fù)鋵W(xué)”的基礎(chǔ)概念。那么什么是“拓?fù)鋵W(xué)”?歐拉是如何發(fā)現(xiàn)這個關(guān)系的?他是用什么方法研究的?今天讓我們沿著歐拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態(tài)度探索這個公式......

　　歐拉定理的意義

　　(1)數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律

　　(2)思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸;方法上將底面剪掉，化為平面圖形(立體圖→平面拉開圖)。

　　(3)引入拓?fù)鋵W(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。

　　定理引導(dǎo)我們進(jìn)入一個新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料(如橡皮波)做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。

　　(4)提出多面體分類方法：

　　在歐拉公式中， f (p)=v+f-e 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。

　　除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋�球面，而能變?yōu)橐粋�環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。

　　(5)利用歐拉定理可解決一些實(shí)際問題

　　如：為什么正多面體只有5種? 足球與c60的關(guān)系?否有棱數(shù)為7的正多面體?等

　　歐拉定理的證明

　　方法1：(利用幾何畫板)

　　逐步減少多面體的棱數(shù)，分析v+f-e

　　先以簡單的四面體abcd為例分析證法。

　　去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數(shù)v、棱數(shù)v與剩下的面數(shù)f1變形后都沒有變。因此，要研究v、e和f關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證v+f1-e=1

　　(1)去掉一條棱，就減少一個面，v+f1-e不變。依次去掉所有的面，變?yōu)?ldquo;樹枝形”。

　　(2)從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點(diǎn)，v+f1-e不變，直至只剩下一條棱。

　　以上過程v+f1-e不變，v+f1-e=1，所以加上去掉的一個面，v+f-e =2。

　　對任意的簡單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。

　　方法2：計算多面體各面內(nèi)角和

　　設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)v，面數(shù)f，棱數(shù)e。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形(拉開圖),求所有面內(nèi)角總和σα

　　一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。

　　設(shè)有f個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nf，各面內(nèi)角總和為：

　　σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]

　　= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800

　　=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 (1)

　　另一方面，在拉開圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和。

　　設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·1800，則所有v個頂點(diǎn)中，有n個頂點(diǎn)在邊上，v-n個頂點(diǎn)在中間。中間v-n個頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(v-n)·3600，邊上的n個頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)·1800。

　　所以，多面體各面的內(nèi)角總和：

　　σα = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800

　　=(v-2)·3600. (2)

　　由(1)(2)得： (e-f) ·3600 =(v-2)·3600

　　所以 v+f-e=2.

　　歐拉定理的運(yùn)用方法

　　(1)分式：

　　a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

　　當(dāng)r=0,1時式子的值為0

　　當(dāng)r=2時值為1

　　當(dāng)r=3時值為a+b+c

　　(2)復(fù)數(shù)

　　由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：

　　sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

　　cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

　　(3)三角形

　　設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

　　d^2=r^2-2rr

　　(4)多面體

　　設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則

　　v-e+f=2-2p

　　p為歐拉示性數(shù)，例如

　　p=0 的多面體叫第零類多面體

　　p=1 的多面體叫第一類多面體

　　(5) 多邊形

　　設(shè)一個二維幾何圖形的頂點(diǎn)數(shù)為v，劃分區(qū)域數(shù)為ar，一筆畫筆數(shù)為b,則有：

　　v+ar-b=1

　　(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，v=5,ar=4,b=8)

　　(6). 歐拉定理

　　在同一個三角形中，它的外心circumcenter、重心gravity、九點(diǎn)圓圓心nine-point-center、垂心orthocenter共線。

　　其實(shí)歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。

　　使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數(shù)

　　問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型?

　　答：足球是多面體，滿足歐拉公式f-e+v=2，其中f,e,v分別表示面,棱,頂點(diǎn)的個數(shù)

　　設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那么

　　面數(shù)f=x+y

　　棱數(shù)e=(5x+6y)/2(每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用)

　　頂點(diǎn)數(shù)v=(5x+6y)/3(每個頂點(diǎn)由三塊皮子共用)

　　由歐拉公式，x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，解得x=12

　　所以共有12塊黑皮子

　　所以，黑皮子一共有12×5=60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的

　　對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的

　　那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2=120條邊，120÷6=20

　　所以共有20塊白皮子。