在計數時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。

　　兩個集合的容斥關系公式：A∪B = A+B - A∩B

　　三個集合的容斥關系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

　　容斥原理(1)

　　如果被計數的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個數= A類元素個數+

　　B類元素個數—既是A類又是B類的元素個數。

　　例1

　　一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人?

　　分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“A類或B類元素個數”的總和。

　　試一試：某班學生每人家里至少有空調和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調的有41人，有電容斥原理(2)

　　如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個數= A類元素個數+

　　B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。

　　例2某校六(1)班有學生54人，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問：三項都參加的有多少人?

　　分析：仿照例1的分析，你能先說一說嗎?

　　例3 在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個?不能被3或5整除的數共有多少個?

　　分析：顯然，這是一個重復計數問題(當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數)。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數(15的倍數)”就是被重復計算的數，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數”。現在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個(想一想，這是為什么?)同理，可以求出其他的條件。

　　例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個?

　　分析：這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。

　　例5

　　某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優秀，其余每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：

　　短跑 游泳 投擲 短跑、游泳 短跑、投擲 游泳、投擲 短跑、游泳、投擲

　　1 7 1 8 1 5 6 6 5 2

　　求這個班的學生共有多少人?

　　分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。

　　試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什么都沒有參加，求兩種都參加的有多少人?

　　例6

　　在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段?

　　分析：很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。

　　若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的 11條刻度線，顯然刻度線有重復的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢?想一想，被計數的事物有那幾類?每一類的元素個數是多少?