討論文化問題，可以列舉文化的各個部門：科學、文學、藝術、政治、宗教、倫理……請注意，數學也是文化的一部分。教學和任何學科不同，它幾乎是任何科學所不可缺少的。沒有任何一門科學能像像它那樣澤被天下。它是現代科學技術的語言和工具，這一點大概沒有什么人會懷疑了。它的思想是許多物理學說的核心，并為它們的出現開辟了道路，了解這一點的人就比較少了。它曾經是科學革命的旗幟，現代科學之所以成為現代科學，第一個決定性的步驟是使自己數學化。為什么會這樣？因為數學在人類理性思維活動中有一些特點。這些特點的形成離不開各個時代的總的文化背景，同時又是數學影響人類文化最突出之點。我這里并不想概括出什么是數學文化，而只是就它對人類精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠然，其他的學科也可能有這些特點，但大抵是與受數學的影響分不開的。
　　首先，它追求一種完全確定、完全可靠的知識。在這本小書里可以看到許多被吸引到數學中來的人正是因為數學有這樣的特點。例如說，歐幾里得平面上的三角形內角和為180°，這絕不是說“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內角和“在某種誤差范圍內”為180°，而是在命題的規定范圍內，一切三角形的內角和不多不少為180°。產生這個特點的原因可以由其對象和方法兩個方面來說明。從希臘的文化背景中形成了數學的對象并不只是具體問題，數學所探討的不是轉瞬即逝的知識，而是某種永恒不變的東西。所以，數學的對象必須有明確無誤的概念，而且其方法必須由明確無誤的命題開始，并服從明確無誤的推理規則，借以達到正確的結論。通過純粹的思維竟能在認識宇宙上達到如此確定無疑的地步，當然會給一切需要思維的人以極大的啟發。人們自然會要求在一切領域中都這樣去做。正是因為這樣，而且也僅僅因為這樣，數學方法既成為人類認識方法的一個典范，也成為人在認識宇宙和人類自己時必須持有的客觀態度的一個標準。就數學本身而言，達到數學趔的途徑既有邏輯的方面也有直覺的方面，但就其與其他科學比較而言，就其影響人類文化的其他部門而言，它的邏輯方法是最突出的。這個方法發展成為人們常說的公理方法。迄今為止，人類知識還沒有哪一個部門應用公理方法得到如數學那樣大的成功。但是，如果到今天某個知識部門還是只有診斷而沒有論據，只是一堆相互沒有邏輯聯系的命題，前后又無一貫性，恐怕是不會有人接受的了。每個論點都必須有根據，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實踐的檢驗之外，無論是幾千年的習俗、宗教的權威、皇帝的敕令、流行的風尚統統是沒有用的。這樣一種求真的態度，傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎??宇宙和人類的真正面目是什么？??是人類文化發展到高度的標志。這個偉大的理性探索是數學發展必不可少的文化背景，反過來也是數學貢獻于文化最突出的功績之一。
　　數學作為人類文化組成部分的另一個特點是它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下朝廷的。這是一種化繁為簡以求統一的過程。從古希臘起，人們就有一個信念：冥冥之中最深處宇宙有一個偉大的、統一的、而且簡單的設計圖，這是一個數學設計圖。在一切比較深入的科學研究后面，必定有一種信念驅使我們。這個信念就是：世界是合理的，簡單的，因而是可以理解的。對于數學研究則還要加上一點：這個世界的合理性，首先在于它可以用數學來描述。在古代，這個信念有些神秘色彩。可是發展到現代，科學經過了多次偉大的綜合。多少隨意地列舉一些：歐幾里得的綜合；牛頓的綜合；麥克斯韋的綜合；愛因斯坦的綜合；量子物理的綜合；計算機的出現，哪一次不是或多或少遵循這個信念？也許有例外：達爾文和孟德爾，但是今天已經開始，人們在用數學去討論物種的進化與競爭，討論遺傳的規律。人們會又一次看見宇宙的根本規律表現為一種抽象的、至少是數學味很重的設計圖。這不是幻想而是現實。為什么DNA的雙螺旋結構是在卡文迪許實驗室完成，受了研究分子結構的X射線衍射方法那么多好處？難道看不出這也是一種把生命歸結為最簡單成分的不同位置、不同形式、不同數量而成的數學味很重的結構嗎？這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵人們按照最深刻的內在規律來考慮事物。我們為世界圖景的精巧和合理而欣喜而驚異。這種感情正是人類文化精神的結晶。數學正是在這樣的文化氣氛中成長的，而反過來推動這種文化氣氛的發展。現在應該提出的問題是，對這樣一種信念應該怎樣去估價。是否還應該同時也看到它的不足的一面？從科學史看來，一直存在一種“還原”的傾向：把復雜的現象歸結為一些最簡單的最原始的因素的作用。物體分成了“質點”、“電荷”；分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細胞，然后又是細胞核、細胞質、染色體、基因、核酸……豐富無比、千差萬別的世界的多樣性似乎越來越被歸納為這些基本的成分或稱為宇宙的磚石在數量上、形狀上、結構上的差別，這當然是數學發揮作用的大好場所。同時也就產生了一種越來越深刻的疑問：大千世界真是這些最簡單的成分疊加的嗎？難道線性的疊加原理竟是宇宙的最根本法則嗎？由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區別究竟何在？可是，每一個從事數學研究的人仍然抱有下面說的信念：想解決這個更深刻的問題我把它稱為綜合，而把那種還原的傾向稱為分析仍然要靠數學，當代數學的發展將越來越證實這一點。
　　數學的再一個特點是它不僅研究宇宙的規律，而且也研究它自己。在發揮自己力量的同時又研究自己的局限性，從不擔心否定自己，而是不斷反思、不斷批判自己，并且以此開辟自己前進的道路。它不斷致力于分析自己的概念，分析自己的邏輯結構。它不斷地反思：自己的概念、自己的方法能走多遠？從希臘時代起，畢達哥拉斯認為宇宙即數(他是指自然數)，可是遇到了無理數，后來的希臘人只好采用不可公度理論，因為弄不清，就干脆不講無理數，而討論一般的線段長。希臘人甚至不講數，使希臘數學與其他民族――例如中國――相比呈現了缺點。但即令如此，也要保持高度嚴整，而不允許采取折衷主義的態度。歷史終于證明，正是希臘人開辟了研究無理數系的道路。他們研究數學，卻同時考慮數學研究的對象是否存在。希臘人考慮數學對象的存在問題，把存在歸結為可構造，然后就問：“用直尺與圓規經有限步驟去三等分任意角可能嗎？”因為弄不清是否可能，即沒有構造的方法以證明三等分角的存在，他們的幾何學中干脆不講一個角的三分之一，只講平分線，從不講角三分線。越向后面發展，數學就出現了越來越多的“不可能性”：x2+1=0不可能在實數域中求解，五次以上的方程不能用根式求解，平行線公理能不能證明？到20世紀初才知道是既不能證明又不能否證。大家都說，數學最需要嚴格性，數學家就要問什么叫嚴格性？大家都說，數學在證明一串串的定理，數學家就要問什么叫證明？數學越發展，取得的成就越大，數學家就越要問自己的基礎是不是鞏固。越是在表面上看來沒有問題的地方，越要找出問題來。乘法明明是可以交換的，偏偏要研究不可交換的乘法。孟子自嘲地說：“予豈好辯哉，予不得已也!”數學家只需要換一個字：“予豈好‘變’哉，予不得已也!”當然，任何科學要發展就要變。但是只是在與實際存在的事物、現象或實驗的結果發生矛盾時才變。惟有數學，時常是在理性思維感到有了問題時就要變。而且，其他科學中“變”的傾向時常是由數學中的“變”直接或間接引起的。當然，數學中許多重要的變是由于直覺地感到有變的必要，感到只有變才能直視宇宙的真面目。但無論如何，是先從思維的王國里開始變，即否定自己。這種變的結果時常是“從一無所有之中創造了新的宇宙”。
　　到了最后，數學開始懷疑起自己的整體，考慮自己的力量界限何在。大概是到了19世紀末年，數學向自己提出的問題是：“我真是一個沒有矛盾的體系嗎？我真正提供了完全可靠、確定無疑的知識嗎？我自認為是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么？我證明了某些對象的存在，或者說我無矛盾地創造了自己的研究對象，可是它們確實存在嗎？如果我不能真正地把這些東西構造出來，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一張空頭支票，一張沒有銀行的支票呢？”
　　總之，數學是一株參天大樹，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽光。它不斷擴展自己的領地，在它的樹干上有越來越多的鳥巢，它為越來越多的學科提供支持，也從越來越多的學科中吸取營養。它又把自己的根伸向越來越深的理性思維的土地中，使它越來越牢固地站立。從這個意義上來講，數學是人類理性發展最高的成就(或者再加上“之一”二字更好一些)。
　　數學深刻地影響人類精神生活，可以概括為一句話，就是它大大地促進了人的思想解放，提高與豐富了人類的整個精神水平。從這個意義上講，數學使人成為更完全、更豐富、更有力量的人。愛因斯坦說的“得到解放”，其實正是這個意思。
　　數學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種探索精神。數學的出現，確實是為了滿足人類的物質生活需要。可是，離開了這種探索精神，數學是無法滿足人的物質需要的。“風調雨順”是人類的物質生活不可少的。可是“巫師”的“祈雨”不也是滿足需要的“手段”之一嗎？人總有一個信念：宇宙是有秩序的，數學家更進一步相信，這個秩序是可以用數學表達的，因此人應該去探索這種深層的內在的秩序，以此來滿足人的物質需要。因此，數學作為文化的一部分，其永恒的主題是“認識宇宙，也認識人類自己”。在這個探索過程中，數學把理性思維的力量發揮得淋漓盡致。它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標準，給人類的思想解放打開了道路。現在人人都知道實驗方法的重要性，但是任何科學實驗，離開了一定的邏輯思維，將是沒有意義的。在伽利略的時代就是這樣，他的許多實驗都是所謂理想實驗，在近代就更是這樣。在不同的時代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，數學在文化中的這一地位是不可移易的，而只有日益加強。有人認為數學是現代文化的核心或基石，始終處于中心地位，而影響到人類知識的一切部門。似乎沒有必要去爭這個“中心”或“核心”的地位，但是歷史已經證明，而且將繼續證明，一種沒有相當發達的數學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。

　練　習
一　作者在本文中論述了數學文化的幾個特點？是分別從什么角度論述的？
二、找出課文中關于下列論題的論述，并說說作者是怎樣給數學這一學科定位的。
　1．數學與社會文化的關系。
　2．數學與其他學科的關系。
　3．數學中邏輯思維（理性思維）和感性思維（直覺思維）的關系。
三　縱使上下文，說說下列語句的含義。
　1．除了邏輯的要求和實踐的檢驗以外，無論是幾千年的習俗、宗教的權威、皇帝的敕令、流行的風尚統統是沒有。
　2．難道看不出這也是一種把生命歸結為最簡單萬分的不同位置、不同形式、不同數量而成的數學味很重的結構嗎？
　3．由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區別究竟何在？
　4．離開了這種探索精神，數學是無法滿足人的物質需要的。“風調雨順”是人類的物質生活不可少的。可是“巫師”的“祈雨”不也是滿足需要的“手段”之一嗎？
四　據史書記載，托勒密國王曾經問歐幾里得除了他的《幾何原本》外，還有沒有學幾何的捷徑。歐幾里得回答說：“在幾何里，沒有專為國王鋪設的大道。”還有一次，一個學生才做了一道題，就問歐幾里得學了幾何能得到什么。歐幾里得讓人給這名學生三個錢幣，因為他想在學幾何中獲取實利。請再找幾則數學史上類似的小故事，結合自己學習數學的體會，談談你對這一學科的認識