在各類競賽中，各類小升初考試中相關的世界名題出現的概率極高，這是由小升初與數學競賽的特點決定，這特點便是：知識性，趣味性，思想性相結合。

    中世紀最有才華的數學家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比薩市的一個商人家庭。因父親在阿爾及利亞經商，因此幼年在阿爾及利亞學習，學到不少時尚未流傳到歐洲的阿拉伯數學。成年以后，他繼承父業從事商業，走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國和意大利的西西里島。

    斐波那契是一位很有才能的人，并且特別擅長于數學研究。他發現當時阿拉伯數學要比歐洲大陸發達，因此有利于推動歐洲大數學的發展。他在其他國家和地區經商的同時，特別注意搜集當地的算術、代數和幾何的資料。回國后，便將這些資料加以研究和整理，編成《算經》（1202年，或叫《算盤書》）。《算經》的出版，使他成為一個聞名歐洲的數學家。繼《算經》之后，他又完成了《幾何實習》（1220年）和《四藝經》（1225年）兩部著作。

   《算經》在當時的影響是相當巨大的。這是一部由阿拉伯文和希臘文的材料編譯成拉丁文的數學著作，當時被認為是歐洲人寫的一部偉大的數學著作，在兩個多世紀中一直被奉為經典著作。

    在當時的歐洲，雖然多少知道一些阿拉伯記數法和印度算法，但僅僅局限在修道院內，一般的人還只是用羅馬數學記數法而盡量避免用“零”。斐波那契的《算經》，介紹了阿拉伯記數法和印度人對整數、分數、平方根、立方根的運算方法，這部著作在歐洲大陸產生了極大的影響，并且改變了當時數學的面貌。他在這本書的序言中寫道：“我把自己的一些方法和歐幾里得幾何學中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是決定寫現在這本15章的書，使拉丁族人對這些東西不會那么生疏。

    在斐波那契的《算經》中，記載著大量的代數問題及其解答，對于各種解法都進行了嚴格的證明。下面是書中記載的一個有趣的問題：

    [例題1]有個人想知道，一年之內一對兔子能繁殖多少對？于是就筑了一道圍墻把一對兔子關在里面。已知一對兔子每個月可以生一對小兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子。假如一年內沒有發生死亡現象，那么，一對兔子一年內能繁殖成多少對？

    現在我們先來找出兔子的繁殖規律，在第一個月，有一對成年兔子，第二個月它們生下一對小兔，因此有二對兔子，一對成年，一對未成年；到第三個月，第一對兔子生下一對小兔，第二對已成年，因此有三對兔子，二對成年，一對未成年。月月如此。

    第1個月到第6個月兔子的對數是：

    1，2，3，5，8，13。

    我們不難發現，上面這組數有這樣一個規律：即從第3個數起，每一個數都是前面兩個數的和。若繼續按這規律寫下去，一直寫到第12個數，就得：

    1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

    顯然，第12個數就是一年內兔子的總對數。所以一年內1對兔子能繁殖成233對。

    在解決這個有趣的代數問題過程中，斐波那契得到了一個數列。人們為紀念他這一發現，在這個數列前面增加一項“1”后得到數列：

    1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契數列”，這個數列的任意一項都叫做“斐波那契數”。

    在美國《科學美國人》雜志上曾刊登過一則有趣的故事：

    [例題2]世界著名的魔術家蘭迪先生有一塊長和寬都是13分米的地毯，他想把它改成8分米寬、21分米長的地毯。

    他拿著這塊地毯去找地毯匠奧馬爾，并對他說：“我的朋友，我想請您把這塊地毯分成四塊，然后再把它們縫在一起，成為一塊8分米×21分米的地毯。”奧馬爾聽了以后說道：“很遺憾，蘭迪先生。您是一位偉大的魔術家，但您的算術怎么這樣差呢！13×13=169，而8×21=168，這怎么辦得到呢？”蘭迪說：“親愛的奧馬爾，偉大的蘭迪是從來不會錯的，請您把這塊地毯裁成這樣的四塊。”

    然而奧馬爾照他所說的裁成四塊后。蘭迪先生便把這四塊重新擺好，再讓奧馬爾把它們縫在一起，這樣就得到了一塊8分米×21分米的地毯。

    奧馬爾始終想不通：“這怎么可能呢？地毯面積由169平方分米縮小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢？”

    將四個小塊拼成長方形時，在對角線中段附近發現了微小的重疊。正是沿著對角線的這點疊合，而導致了丟失一個單位的面積。讀者不妨自己用紙試一下。  

    涉及到四個長度數5，8，13，21都是斐波那契數，并且132=8×21+1，82=5×13-1。多做幾次上述的試驗，就可以發現斐波那契數列的一個有趣而重要的性質：an2=an-1•an+1±1（n≥2）,即每個斐波那契數的平方與它左右兩個數的乘積相差1。

    斐波那契數列在實際生活中有非常廣泛而有趣的應用。除了動物繁殖外，植物的生長也與斐波那契數有關。數學家澤林斯基在一次國際性的數學會議上提出樹生長的問題：如果一棵樹苗在一年以后長出一條新枝，然后休息一年。再在下一年又長出一條新枝，并且每一條樹枝都按照這個規律長出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有兩枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝數正好是斐波那契數。

    生物學中所謂的“魯德維格定律”，也就是斐波那契數列在植物學中的應用。

    下面這些例子，都落實到與小升初有關的考題中了。題目的面目各不相同，但最后都露出斐波那契數列的真面目。

    [例題3]下圖是一個樹形圖的生長過程，依據圖中所示的生長規律，第16行的實心圓點的個數是            ．（迎春杯賽題）

    分析與解：我在上課時經常提到，有些題它只是表達的形式不一樣，其實只要透過現象抓住本質，不同的表達形式，所要揭示的問題的實質是一樣的。

    這一題的實質是上面提到的生長樹，是非常有名的裴波那契數列。

    從圖上很容易看出從第一行開始，實心圓點的數量是這樣排列的：0，1，1，2，3，5……

    對于每一個空心圓點它到下一行只生出一個實心圓點，而對于每一個實心圓點它到下一行可生出一空一實兩個點。到第六時我們可看出這一行的五個實心圓點到下一行必定能生出5個實心圓點另五個是空心圓點，另外三個空心圓點還能生出三個實心圓點，因此下一行為5+3=8個實心圓點，同理下一行的實心圓點數為本行的所有實心加所有空心圓點數，為8+5=13……不用多說，這實際有一個非常明顯的規律：也就是這一列數從第三個數起任一個數都等于它前兩個數的和。因此結果很快可推知：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610。第16行的實心圓點個數為610。

    另外空心圓點的數目其實也是有一定規律的，可以列出來看一下：1，0，1，1，2，3，5，8……你能發現其中的規律嗎？那么第16行空心圓點的個數又是多少呢？

    [例題4]一個樓梯共有10級臺階，規定每步可以邁一級臺階或二級臺階，最多可以邁三級臺階。從地面到最上面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？（華校思維導引計數綜合二）

    分析與解：
    這題同樣用找規律的方法，我們可以先看只有1級臺階的情況開始：
    一級臺階，有：1種；
    2級臺階，有1、1，2，共兩種；
    3級臺階，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4種走法；
    4級臺階時，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1種；
    5級臺階時，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2種；
    6級臺階時，得到24=13+7+4種；
    即：n級臺階時，所有的走法種數是它的前三種走法的和。
    由此得到，10級臺階時為274種。

    上面的方法我用另一種思路來加以說明，可能對你有幫助。即還可用加法原理倒推，較重要。想上第10級臺階，根據題意，完成這件事情的方法可分為三類：一是從第9級臺階跨一步上去，二是從第8級臺階跨兩步上去，三是從第7級臺階跨三步上去，這三類中每一類方法都能完成“上第十級臺階”這一任務，具有典型的加法原理特征。也就是A10=A9+A8+A7，A10，A9等表示上第N級臺階的方法數。

    同理可推得：A9=A8+A7+A6
                A8=A7+A6+A5
                ……
                A4=A3+A2+A1
    那么只要前三個臺階數的答案，后面的逐漸加上去就可以了。

    [例題5]對一個自然數作如下操作：如果是偶數則除以2，如果是奇數則加，如此進行直到得數為1操作停止。問經過9次操作變為1的數有多少個？（華校考題）

    分析與解：這一題首先我們可以明確的是要采用逆推的方法，其次我們還得利用找規律來歸納出計算方法。在復雜的或者步子比較多的計數中，找規律是一種非常常用的方法。
歸納總結上述規律，從第三項起，每一項都是前兩項之和。

    各位讀者，有了上面的經驗，你能不能看出下面幾道題的真面目。
   [考考1]如下圖，從A處穿過房間到達B處，如果要求只能從小號碼房間走向大號碼房間，那么共有多少種不同的走法？

    [考考2]有一堆火柴共 12根，如果規定每次取 1～3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？

    [考考3]如下圖，小方和小張進行跳格子游戲，小方從A跳到B，每次可跳1步或2步；小張從C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。規定：誰跳到目標處的不同跳法最多，誰就獲勝。問獲勝方的跳法比另一方多         種。

    [考考4]一只青蛙從寬5米的水田的一邊要跳往另一邊,它每次只能跳0.5米,或1米,這只青蛙跳過水田共有多少種不同的方法？

   發現同學們做這類題最常見的錯誤是弄錯項數，像第一題明明是55，但容易算成34，或89，這一點千萬要注意次數與答案之間的一一對應關系。