人類從學會計數開始就一直和自然數打交道了，后來由于實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數，而把它們的相反數叫做負整數，介于正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們和起來叫做整數。

   對于整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數范圍內可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數。但整數之間的除法在整數范圍內并不一定能夠無阻礙地進行。

   人們在對整數進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數的特性。比如，整數可分為兩大類—奇數和偶數（通常被稱為單數、雙數）等。利用整數的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數學規律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數學家不斷地研究和探索。

   數論這門學科最初是從研究整數開始的，所以叫做整數論。后來整數論又進一步發展，就叫做數論了。確切的說，數論就是一門研究整數性質的學科。

    數論的發展簡況

   自古以來，數學家對于整數性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統一的學科。

   自我國古代，許多著名的數學著作中都關于數論內容的論述，比如求最大公約數、勾股數組、某些不定方程整數解的問題等等。在國外，古希臘時代的數學家對于數論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統的研究，關于質數、和數、約數、倍數等一系列概念也已經被提出來應用了。后來的各個時代的數學家也都對整數性質的研究做出過重大的貢獻，使數論的基本理論逐步得到完善。

   在整數性質的研究中，人們發現質數是構成正整數的基本“材料”，要深入研究整數的性質就必須研究質數的性質。因此關于質數性質的有關問題，一直受到數學家的關注。

   到了十八世紀末，歷代數學家積累的關于整數性質零散的知識已經十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統的學科的條件已經完全成熟了。德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術探討》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發表了這部著作。這部書開始了現代數論的新紀元。

   在《算術探討》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標準化了，把當時現存的定理系統化并進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。

    數論的基本內容

   數論形成了一門獨立的學科后，隨著數學其他分支的發展，研究數論的方法也在不斷發展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數論、解析數論、代數數論和幾何數論四個部分。

   初等數論是數論中不求助于其他數學學科的幫助，只依*初等的方法來研究整數性質的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數論中很重要的內容。

   解析數論是使用數學分析作為工具來解決數論問題的分支。數學分析是以函數作為研究對象的、在極限概念的基礎上建立起來的數學學科。用數學分析來解決數論問題是由歐拉奠基的，俄國數學家車比雪夫等也對它的發展做出過貢獻。解析數論是解決數論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質數有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數學分析中有關無窮級數的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯數學家維諾格拉多夫創造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數論難題有著重要的作用。我國數學家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數論的方法。

   代數數論是把整數的概念推廣到代數整數的一個分支。數學家把整數概念推廣到一般代數數域上去，相應地也建立了素整數、可除性等概念。

   幾何數論是由德國數學家、物理學家閔可夫斯基等人開創和奠基的。幾何數論研究的基本對象是“空間格網”。什么是空間格網呢？在給定的直角坐標系上，坐標全是整數的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網。空間格網對幾何學和結晶學有著重大的意義。由于幾何數論涉及的問題比較復雜，必須具有相當的數學基礎才能深入研究。

   數論是一門高度抽象的數學學科，長期以來，它的發展處于純理論的研究狀態，它對數學理論的發展起到了積極的作用。但對于大多數人來講并不清楚它的實際意義。

   由于近代計算機科學和應用數學的發展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現在由于計算機的發展，用離散量的計算去逼近連續量而達到所要求的精度已成為可能。

   數論在數學中的地位是獨特的，高斯曾經說過“數學是科學的皇后，數論是數學中的皇冠”。因此，數學家都喜歡把數論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們去“摘取”。下面簡要列出幾顆“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數問題、哥德巴赫猜想、圓內整點問題、完全數問題……

   在我國近代，數論也是發展最早的數學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數論的研究的得到了更大的發展。特別是在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領先的優秀成績。

   特別是陳景潤在1966年證明“哥德巴赫猜想”的“一個大偶數可以表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和”以后，在國際數學引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數學的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是“哥德巴赫猜想”的最好結果。