我們曾經學了二進制以及八，十六及各種進制的整數，以及它們的加減乘除四則運算．大家必然會提問：與十進制分數、小數類似的二進制分數、小數，如何推廣過來？

　　一個二進制小數，不妨先講純小數：0＜n＜1，

　　n＝0.b1b2b3…bi…，每個bi或為0，或為1．（bi不全為0，也不全為1）．

　　……

　　二進制小數的運算也和十進制小數運算相類似，差別在于這里是"逢二進一"，"退一還二"．

　　十進制小數化為二進制小數，主要通過分數作中間媒介．

　　例將（0.3）10化為二進制小數．（用（a）k表示k進位數）．

　　這表示十進制有限小數可能化成二進制循環小數．

　　本節重點講二進制循環小數如何化為二進制分數．回憶十進制循環小數化分數，一是要學習推理中的思想方法，二是最好歸納成一個易用易記的公式．

　　十進制循環小數化分數一般公式：

　　這些公式的推導過程如下，請體會思想方法．

　　齊，消去了讓人"害怕"的無限長（雖然是循環）的小數）：

　　至于混循環，只要借用已證得的公式①，因為

　　其實公式②中，當s＝0時，就是公式①，復雜的公式②是借用簡單情況下的公式①推來．推出后①包含在②之中．

　　對于二進制循環小數化二進制分數，也可同樣推導．

　　至于二進制混循環小數：也記這小數的整體為S．

　　從推導和記憶規則看，公式（1）和（2）與十進制公式①和②相仿．那么讀者一定會歸納出任意進制的循環小數化分數的公式．

　　解：用公式（1）

　　例3 化（0.100111011）2為二進制分數．

　　解：由公式（2）

　　直接檢驗

　　現在再看推導公式的方法，關鍵是把循環小數的值設為S，好比列方程設未知數，而10kS－S恰好消去了"燙手"的無限長的小數部分，推出"方

　　這樣的思想，在研究等比數列時也用到了．以前講過有限項數列：a1，a2，a3，…，ai，…，an．所謂等比數列，即它每一項都是前一項乘上一公共值q，也即：

　　a1，a2＝a1q，a3＝a2q，…，ai＝ai－1q，…，an＝an－1q，

　　或

　　a1，a2＝a1q，a3＝a1q2，…，ai＝a1qi－1，…，an＝a1qn－1．

　　現在要求出a1＋a2＋a3＋…＋ai＋…＋an．

　　思想方法：第一步：

　　設S＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1．

　　上式兩邊乘上q，作為第二步：

　　qS＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn．

　　當q＜1時，用上式兩邊減下式兩邊，得到

　　S－qS＝a1－a1qn，

　　公式（3）稱為公比小于1的等比級數前n項求和公式．它敘述為：前n項和等于首項與首項乘公比的n次冪的差除以1與公比之差．

　　例4

　　最后以一個很精彩的例來結束本節（本例選自美國1993年第四十四屆高中數學競賽第30題．雖是高中競賽題，但本講知識可解此題）

　　例5 x0是任意取定的數，滿足0≤x0＜1，對于所有的自然數n，xn由下述遞推的關系式確定：

　　求使得x0＝x5的x0的個數．

　　分析 所謂遞推關系式，就是一旦給定了一個初始值x0，例如取x0＝

　　總之，后項取決于前項的2倍值，當前項2倍值大于1時，就取該值；不小于1時（決不會超過2）就取它與1的差值．）

　　如果我們設x0是一個二進制小數，即設x0＝（0.d1d2d3…）2，那么

　　2x0＝（10）2×（0.d1d2d3…）2＝（d1·d2d3d4…）2，

　　即2x0。只是把x0的二進制表示中的小數點向右移一位．因此2x0<1相當于d1＝0，2x0≥1相當于d1＝1；那么按遞推關系式的規定，x1變得特別簡明：

　　x1＝（0.d2d3d4d5…）2．

　　因為如果d1＝0，即2x0＜1，則x1＝2x0＝（0.d2d3d4…）2；如果d1＝1，即2x0≥1，則x1＝2x0－1＝（1.d2d3d4…）2－1＝（0.d2d3d4…）2，同樣的規律，在由xi求xi＋1時也成立，i＝1，2，…，即

　　x2＝（0.d3d4d5d6…）2；x3＝（0.d4d5d6…）2；

　　x4＝（0.d5d6d7…）2；x5＝（0.d6d7d8…）2；

　　按條件應有x0＝x5，即：

　　（0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10…）2＝（0.d6d7d8d9d10d11d12d13…）2，

　　這相當于x0是循環節為5的二進制純循環小數，即

　　由于每一個di的值，只有0，1兩種可能，所以：

　　x0有25＝32個可能值，它們依小到大排成：

　　但別忘了題設限定0≤x0＜a，x0小于1，而由公式（1）知循環小數