第六講 圖形面積

簡單的面積計算是小學數學的一項重要內容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算.

　　上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 4×4＝ 16（格）；右圖是 3×5的長方形，它的面積是 3×5＝ 15（格）.

　　上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2＝ 10（格）；右圖是一個鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2＝8（格）.這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.

　　上面左圖是一個平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3＝ 15（格）；右圖是一個梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是

　　（4+7）×4÷2＝22（格）.

　　上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數表示長度或面積，省略了相應的長度單位和面積單位.

6.1  三角形的面積

　　用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：

　　三角形面積= 底×高÷2.

　　這個公式是許多面積計算的基礎.因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用.

　　例1 右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？

　　解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.

　　三角形ABD面積=4×高÷2.

　　三角形 ADC面積=2×高÷2.

　　因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應的三條高.

　　例2 右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.

　　解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.

　　三角形 ABC面積= 8× 4÷2＝16.

　　我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.

　　三角形 DFE面積= 16÷4＝4.

　　例3 右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內部陰影部分面積.

　　解：ABEF也是一個長方形，它內部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.

　　而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是

　　FE×BE÷2，

　　它恰好是長方形ABEF面積的一半.

　　同樣道理，FECD也是長方形，它內部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.

　　因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是

　　20×12÷2＝120.

　　通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.

　　例4 右圖中，有四條線段的長度已經知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？

　　解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.

　　對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此

　　面積=4×10÷2＝ 20.

　　對三角形 ADC來說， DC是底邊，高是 8，因此

　　面積=7×8÷2＝28.

　　四邊形 ABCD面積= 20＋ 28＝ 48.

　　這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.

　　例5 在邊長為6的正方形內有一個三角形BEF，線段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面積.

　　解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積

　　三角形 ABE面積=3×6×2＝ 9.

　　三角形 BCF面積= 6×（6-2）÷2＝ 12.

　　三角形 DEF面積=2×（6-3）÷2＝ 3.

　　我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：

　　三角形 BEF面積=6×6-9-12-3＝12.

　　例6 在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD（陰影部分）的面積.

　　解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.

　　把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2＝7.

　　因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2＝3.5.

　　因為 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是

　　3.5×4＝14.

　　長方形 ABCD面積=7×（8＋2）=70.

　　四邊形 ABMD面積=70-7- 14＝ 49.