什么事發(fā)車問題?
有關(guān)公共汽車與行人的問題，主要涉及到這幾個量：行人速度、汽車速度、前后相鄰汽車間距、汽車發(fā)車時間間隔、相遇(追及)事件時間間隔．
這些貌似不相關(guān)的數(shù)量之間隱含著很多數(shù)量關(guān)系：
“發(fā)車”是一個有趣的數(shù)學(xué)問題。解決“發(fā)車問題”需要一定的策略和技巧。本文重點(diǎn)解決這樣兩個問題：一是在探索過程中，如何揭示“發(fā)車問題”的實(shí)質(zhì)？二是在建模的過程中，如何選擇最簡明、最嚴(yán)謹(jǐn)和最易于學(xué)生理解并接受的方法或情景？
為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進(jìn)行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站均每隔相等的時間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問：公交車站每隔多少時間發(fā)一輛車？（假如公交車的速度不變，而且中間站停車的時間也忽略不計(jì)。）
一、把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”
因?yàn)檐囌久扛粝嗟鹊臅r間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時間內(nèi)行駛的路程。我們把這個相等的距離假設(shè)為“1”。
根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a分鐘所走的路程差是1，即公交車比行人每分鐘多走1/a，1/a就是公交車與行人的速度差。
根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b分鐘所走的路程和是1，即公交車與行人每分鐘一共走1/b，1/b就是公交車和行人的速度和。
這樣，我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法：大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和-差）÷2，可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b）÷2。又因?yàn)楣卉囋谶@個“間隔相等的時間”內(nèi)行駛的路程是1，所以再用“路程÷速度=時間”，我們可以求出問題的答案，即公交車站發(fā)車的間隔時間是1÷【（1/a+1/b）÷2】=2÷（1/a+1/b）。
二、把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”
如果這個行人在起點(diǎn)站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時間是m÷n分鐘。但是，如果行人在這段時間內(nèi)做個“往返運(yùn)動”也未嘗不可，那么他的“往返”決不會影響答案的準(zhǔn)確性。
因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)站走到終點(diǎn)站，行人用的時間不一定被a和b都整除，所以他見到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點(diǎn)站走到終點(diǎn)站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說讓他走多長時間再立即返回呢？
取a和b的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車在起點(diǎn)站發(fā)出，我們讓行人從起點(diǎn)站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回；這時恰好是從行人背后駛過第b輛車。當(dāng)行人再用ab分鐘回到起點(diǎn)站時，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是說行人返回起點(diǎn)站時第（a+b）輛公交車正好從車站開出，即起點(diǎn)站2ab分鐘開出了（a+b）輛公交車。
這樣，就相當(dāng)于在2ab分鐘的時間內(nèi)，行人在起點(diǎn)站原地不動看見車站發(fā)出了（a+b）輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時間也是2ab÷（a+b）=2÷（1/a+1/b）。
這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于學(xué)生理解和接受。如果用具體的時間代入，則會更加形象，更便于說明問題。
三、請用上述兩種方法，試一試，解答下面兩題：
1、小紅在環(huán)形公路上行走，每隔6分鐘就可以看見一輛公共汽車迎面開來，每隔9分鐘就有一輛公共汽車從背后超過她。如果小紅步行的速度和公共汽車的速度各自都保持一定，而汽車站每隔相等的時間向相反的方向各發(fā)一輛公共汽車，那么汽車站發(fā)車的間隔時間是多少？
2、小明從東城到西城去，一共用了24分鐘。兩城之間同時并且每隔相等的時間對發(fā)一輛公共汽車。他出發(fā)時恰好有一輛公共汽車從東城發(fā)出，之后他每隔4分鐘看見一輛公共汽車迎面開來，每隔6分鐘有一輛公共汽車從背后超過。問小明從東城出發(fā)與到達(dá)西城這段時間內(nèi)，一共有多少輛公共汽車從東城發(fā)出？
四、下面三題也是發(fā)車問題，試一試，揭示問題實(shí)質(zhì)。
3、從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘步行82千米，每隔10分鐘遇上一輛迎面而來的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上迎面開來的一輛電車。電車總站每隔__分鐘開出一輛電車。
[題說] 1997年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽A卷第12題
答案：11（分鐘）
4、有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站。每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站。全程要走15分鐘。有一個人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站。他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車，才到達(dá)甲站。這時候，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘？
[題說] 第一屆“華杯賽”初賽第16題
答案：40（分鐘）
5、一條雙向鐵路上有11個車站。相鄰兩站都相距7公里。從早晨7點(diǎn)開始，有18列貨車由第十一站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向第一站，速度都是每小時60公里。早晨8點(diǎn)，由第一站發(fā)出一列客車，向第十一站駛?cè)ィ瑫r速是100公里，在到達(dá)終點(diǎn)站前，貨車與客車都不停靠任何一站，問：在哪兩個相鄰站之間，客車能與3列貨車先后相遇？
[題說] 第三屆“華杯賽”決賽二試第6題
答案：在第5個站與第6個站之間，客車與三列貨車相遇。
