五年級奧數題及答案：整除問題

 　　1.整除問題

　　某個七位數1993□□□能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數是多少？


　　解答：320

　　2、3、4、5、6、7、8、9

　　的最小公倍數是5×7×8×9=2520

　　所以七位數1993□□□被2520整除。

　　又1994000÷2520=791…680

　　所以七位數 1994000-680=1993320能被2520整除。它的最后三位是320

　　2.整除性質

　　有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數，2號說："這個數能被2整除"，3號說："這個數能被3整 除"，……，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對 的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？（2）如果告訴你，1號寫的是五位數，請求出這個數。


　　解答：

　　（1）8和9說得不對；（2）60060

　　（1）首先可以判定編號是2、3、4、5、6、7號的同學說的一定都對。不然，其中說得不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對。這個數能同時被2、5，3，4和2、7整除，則一定能被10、12、14整除，從而編號為10、12、14的同學說得對。由"兩個連續編號的同學說得錯"知，11，13，15號也說得對。因此，說的不對的兩個同學的編號是8和9.

　　（2）這個數是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數，因為

　　[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，

　　15]=60060.因為60060是一個五位數，而上述12個數的其它公倍數不是五位數，所以1號同學寫的數就是60060