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　　在公元前20 世紀左右，巴比倫人就能解二次方程了。16 世紀歐洲文藝復興時期，意大利數學家找到了三次方程的求根公式，不久，費爾拉里又發現了四次方程的根式求解方法。正當數學家們躊躇滿志地向五次方程及更高次代數方程進軍時，遇到了料想不到的困難，各種努力均告失敗。拉格朗日稱之為“好像是向人類智慧的挑戰”，他透徹地分析了前人所得到的次數低于5 的代數方程的解法，機智地預見到也許5 次以上的代數方程無一般的公式解(但未能給出證明)。1824 年，年輕的挪威數學家阿貝爾證明了拉格朗日的這一設想，從而摘取了數學皇冠上的一顆明珠。不過，其證明并沒有給出一個準則來判定一個具體數字系數的高次代數方程能否用根號求解。他們的功績不容抹煞，但與伽羅華的光輝成就相比就遜色多了。伽羅華一開始就表現出自己的風格：他感興趣的不是具體的數學問題，不是研究高次代數方程所得出的具體結論，而是解決這些問題的一般方法，是能概括這些具體成果并決定數學長期發展的深刻理論。

　　在伽羅華以前的數學家，總是努力從已知概念和定理出發尋求新的證明，致力于數學技巧的競爭，而伽羅華所走的道路乃是尋求新問題所需要的新名稱、符號，即首先進行概念的突破，然后用新概念來構造新證明。伽羅華用非常獨到的思路研究解方程的步驟，注意到方程根的對稱性以及根變換之間的關系，定義了“群”的概念，并給以活的靈魂。伽羅華的工作不是研究方程本身，而是研究與方程密切聯系的變換群，這樣就使方程的特性反映在變換群的特性上，因而弄清了群的規律性，也就透徹地解決了方程的求解問題。更重要的是，群所處理的是抽象的對象，由群的理論研究獲得的一般結果，帶有深刻的普遍性。因此，以群論為代表的數學理論，是處理問題的一種深刻的現代數學方法，為其他研究提供了有力的數學工具。這種理論對于近代數學、物理學的發展，甚至對20 世紀結構主義哲學思想的產生，都產生了深遠的影響，具有劃時代的意義。但由于當時人們沉醉于對形式和技巧的盲目追求，舊時代數學家未能理解伽羅華的數學研究，因此，直至1846年(而此時伽羅華已去世14 年)，這些主要成果與見解才發表在劉維爾創辦的《純粹數學和應用數學雜志》上，以及約當1870 年出版的《置換和代數方程專論》一書中。這樣，伽羅華超越時代的天才思想逐漸被人們理解和承認，并發展成今天這樣一門博大精深的基礎學科——近世代數。