2.剖析定義

（1）明確定義的本質和關鍵。建立定義以后，要養成剖析定義的習慣，首先要認真閱讀課文，逐字逐句地進行推敲，結合定義形成的過程明確定義

的本質和關鍵。

（2）明確定義的充要性。凡是定義都是充要命題，如直線與平面垂直的

定義“如果一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，就說這條直線和這個

平面互相垂直”；反過來，“如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線

就垂直于這個平面內的任何一條直線”仍成立，即直線ι垂直于平面α是ι

垂直于平面α內的任何一條直線的充要條件。又如橢圓的定義“平面內與兩

個定點 F、F的距離之和等于常數 2a（2a＞|FF|）的點的軌跡叫橢圓”；

1 2 1 2

反過來“橢圓上的任意一點到兩個定點F、F的距離之和都等于常數 2a”。

1 2

再如“若函數f（x）對于定義內的每一個值x，都有f（-x）=f（x），則f

（x）叫做偶函數”；反過來，“如果函數 f（x）是偶函數，那么對于定義

域內的每一個值x都有f（-x）=f（x）”等等。

（3）突破定義的難點。對于一個定義，應突破它的難點。如 a+bi（a，

b ∈ R）為什么表示一個數，周期函數定義中的“對于函數定義域內的每一

個x的值”，數列的極限的定義中的“ε”、“N”等。都是難以理解的，要

認真思考，設法突破它，如舉出實例并與定義相對照。加深對難點的理解，

糾正認識中的錯誤，以達到準確地理解定義的目的。

（4）明確定義的基本性質。對于一個定義，不僅要掌握其本身，還應掌

握它的一些基本性質。

（5）逆向分析。人的思維是可逆的。但必須有意識地去培養這種逆向思

維活動的能力。前面說過，定義都是充要命題，但對某些定義還應從多方設

問并思考。如對于正棱錐的概念可提出如下的幾個問題，并思考。

①側棱相等的棱錐是否一定是正棱錐？（不一定）

②側面與底面所成的角相等的棱錐是否一定是正棱錐？（不一定）

③底面是正多邊形的棱錐是否一定是正棱錐？（不一定）

④符合以上三條中的兩條的棱錐是這一定是正棱錐？（一定）

⑤側面是全等的等腰三角形的棱錐是否一定是正棱錐？（一定）（一定

的加以證明，不一定的舉出反例）。

3.記憶定義只有在記憶中能隨時再現的知識，才能有助于提高分析問題和解決問題

的能力，因此必須準確記憶定義。至于記憶方法這里不想多談，只談談記憶

定義不應是孤立的。在建立定義時就要開始記憶，在剖析定義時要鞏固記憶，

特別要弄清定義的基本結構。因為定義是充要命題，所以一般地說，定義是

由條件和結論兩部分構成的。一般的句子形式是“如果…，那么…”。或“設…

則…”。對于邏輯結構復雜的定義，一般地是“設…，如果…，且…，那么…。”

如函數的定義“設f：A→B就是從定義域A到值域B上的函數。”這里“設…，”

是前提條件，“如果…”，是加強條件，“且…，”是又加強的條件，總之

這是條件部分，“那么…”是結論部分。

4.應用定義

應用定義解答具體問題的過程是培養演繹推理能力的過程。應用定義一

般可分三個階段：

（1）復習鞏固定義階段。學習一個新定義之后，要進行復習鞏固。首先

要認真閱讀教材中給出的定義，領會定義的實質，再要舉出實例與定義相對

照，加深對定義的理解，然后解答一些直接應用定義的問題題、判斷題、選

擇題或是推理計算題。一般地，在一個定義的后面緊跟的例題或練習題往往

是為此而安排的，要認真地，嚴格地按照定義，用準確的數學語言去解答，

且不可馬虎草率，對說不出或出現錯誤的問題，要深究其原因，并在重新閱

讀，復習定義的基礎上，澄清定義，糾正錯誤。

（2）章節應用階段。學完一章以后，要把本章中相近的定義，或是與原

來學過的相近的定義如排列與組合，球冠與球缺，函數與方程等有意識地用

比較的方法，明確它們的區別和聯系。或是批判謬誤，在批判錯誤的過程中，

找出錯誤的根源，以免產生概念間的互相干擾。

另外，要把本章中與某一定義有關的知識加以總結，與這一概念有關的

例題、練習題以歸納、總結出應用此定義的基本題型。

（3）靈活綜合應用定義階段。學習一個單元之后，由于知識的局限性，

往往很難把某些概念理解透徹，必須到一定的階段進行這一概念的補課，特

別是數學中具有全局性的重要概念，如算術根及絕對值的概念、函數的概念，

充要條件的概念等，以克服只見樹木不見森林的弊病，從而培養分析與綜合

能力，訓練辨析事物實質的思維能力。數學知識記憶方法

心理學告訴我們，記憶分無意記憶和有意記憶兩種。要使記憶對象在大

腦中形成深刻的映象，一般來說要通過反復感知，有些記憶對象，由于有明

顯的特征，只要通過一次感知就能記住，經久不忘，這就是無意記憶。有些

記憶對象，由于沒有明顯特征，即使通過三、五次感知，也很難記住，而且

容易遺忘，這就需要加強有意記憶。

1.口訣記憶法

中學數學中，有些方法如果能編成順口溜或歌訣，可以幫助記憶。例如，

根據一元二次不等式ax+bx-c＞0（a＞0，△＞0）與ax+bx+c（a＞0，△＞0）

的解法，可編成乘積或分式不等式的解法口訣：“兩大寫兩旁，兩小寫中間”。

即兩個一次因式之積（或商）大于 0，解答在兩根之外；兩個一次因式之積

（或商）小于 0，解答在兩根之內。當然，使用口訣時，必先將各個一次因

式中X的系數化為正數。利用口訣時，必先將各個一次因式中X的系數化為

正數。利用這一口訣，我們就很容易寫出乘積不等式（x-3）·（2x-1）＞0

的解是x＜-3或X＞3，分式不等式＜0

1

的解是-2＜x＜ 。這種記憶法對低年級特別適用。

3

2.分類記憶法

遇到數學公式較多，一時難于記憶時，可以將這些公式適當分組。例如

求導公式有18個，就可以分成四組來記：（1）常數與冪函數的導數（2個）；

（2）指數與對數函數的導數（4個）；（3）三角函數的導數（6個）；（4）

反三角函數的導數（6個）。求導法則有7個，可分為兩組來記：（1）和差、

積、商復合函數的導數（4個）；（2）反函數、隱函數、冪指數函數的導數

（3個）。

3.“四多”記憶法

要使記憶對象經久不忘，一般來說要經過多次反復的感知。“四多”即

多看、多聽、多讀、多寫。特別是邊讀邊默寫，記憶效果更佳。例如，甲對

某組公式單純抄寫四次，乙對同組公式抄寫兩次然后默寫（默寫不出時可看

書）兩次，實驗證明，乙的記憶效果優于甲。

4.靜心記憶法

記憶要從平心靜氣開始，根據一定的記憶目標，找出適合于自己學習特

點的記憶方法。比如記憶環境的選擇就因人而異。有人覺得早晨記憶力好；

有人感到晚上記憶力好；有人習慣于邊走邊讀邊記；有人則要在安靜的環境

下記憶才好等等。不管選擇何種方式記憶，都必須保持“心靜”。心靜才能集中注意力記憶，心靜才能形成記憶的優勢興奮中心，記憶需從靜始！

5.首次記憶法

首次記憶有四種方式：

（1）背誦記憶法。將運算過程和結果在理解的基礎上背誦記熟，這種記

憶稱為背誦記憶。比如，加法與乘法法則，兩數和、差的平方、立方的展開

式等記憶都是背誦記憶。

（2）模型記憶法。有許多數學知識有它具體的模型，我們可以通過模型

來記憶。有些數學知識可有規律的列在圖表內，借助于圖表來記憶，這些記

憶都稱模型記憶。（3）差別記憶法。有些數學知識之間有許多共性，少數異性。要記住它

們，只需記住一個基本的和差異特征，就可以記住其它的了，這種記憶稱為

差別記憶。

（4）推理記憶法。許多數學知識之間邏輯關系比較明顯，要記住這些知

識，只需記憶一個，而其余可利用推理得到，這種記憶稱為推理記憶。

例如，平行四邊形的性質，我們只要記住它的定義，由定義推得它的任

一對角線把它分成兩上全等三角形，繼而又推得它的對邊相等，對角相等，

相鄰角互補，兩條對角線互相平分等性質。

6.重復記憶

重復記憶有三種方式

（1）標志記憶法。在學習某一章節知識時，先看一遍，對于重要部分用

彩筆在下面畫上波浪線，在重復記憶時，就不需要將整個章節的內容從頭到

尾逐字逐句的看了，只要看到波浪線，在它的啟示下就能重復記憶本章節主

要內容，這種記憶稱為標志記憶。

（2）回想記憶法。在重復記憶某一章節的知識時，不看具體內容，而是

通過大腦回想達到重復記憶的目的，這種記憶稱為回想記憶。在實際記憶時，

回想記憶法與標志記憶法是配合使用的。

（3）使用記憶法。在解數學題時，必須用到已記住的知識，使用一次有

關知識就被重復記憶一次，這種記憶稱為使用記憶。使用記憶法是積極的記

憶，效果好。

7.理解記憶法

知識的理解是產生記憶的根本條件，對于數學知識特別要通過理解、掌

握它的邏輯結構體系進行記憶。由于數學是建立在邏輯學基礎上的一門學

科，它的概念、法則的建立，定理的論證，公式的推導，無不處于一定的邏

輯體系之中，因此，對于數學知識的理解記憶，主要在于弄清數學知識的邏

輯聯系，把握它的來龍去脈，只有理解了的東西才能牢固記住它。因此，數

學中的定理、公式、法則，都必須弄通它的來龍去脈，弄懂它們的證明過程，

以便牢固記住它們。

用好這一方法的關鍵，在于學習要注意理解，這一方法，不僅對于數學

學習，就是對于其它學科的學習都有著廣泛的應用。應十分重視。

8.系統記憶法

有位青年總結自己的經驗得出：“總結+消化=記憶”。這正是根據系統

記憶法的思想總結出來的。因為系統記憶法，就是按照數學知識的系統性，把知識進行恰當的比較、分類、條理化，順理成章，編織成網，這樣記住的

就不是零星的知識而是一串，它往往采取列表比較的形式，或抓住主線、內

在聯系把重要概念、公式和章節聯系串為一個整體。