第一講 行程問題
走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量：
距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動了多少米等等；
速度在單位時間內(nèi)（例如1小時內(nèi)）行走或移動的距離；
時間行走或移動所花時間.
這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：
距離=速度×時間
很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如
總量=每個人的數(shù)量×人數(shù).
工作量=工作效率×時間.
因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.
當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.
這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米。
1.1 追及與相遇
有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，
甲走的距離-乙走的距離
= 甲的速度×時間-乙的速度×時間
=（甲的速度-乙的速度）×時間.
通常，“追及問題”要考慮速度差.
例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？
解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時間.
此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時
所用時間=9÷6＝1.5（小時）.
小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是
面包車速度是 54-6＝48（千米/小時）.
城門離學(xué)校的距離是
48×1.5＝72（千米）.
答：學(xué)校到城門的距離是72千米.
例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)？
解一：可以作為“追及問題”處理.
假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分鐘）·
因此，小張走的距離是
75× 20＝ 1500（米）.
答：從家到公園的距離是1500米.
一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.
例3 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點(diǎn)幾分？
解：從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4＝4（千米）.
而爸爸騎的距離是 4＋ 8＝ 12（千米）.
這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4＝3（倍）.按照這個倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.
但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了
4＋12＝16（千米）.
少騎行24-16＝8（千米）.
摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.
8＋8＋16＝32.
答：這時是8點(diǎn)32分.
下面講“相遇問題”.
小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么
甲走的距離+乙走的距離
=甲的速度×時間+乙的速度×時間
=（甲的速度+乙的速度）×時間.
“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.
例4 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.
解：先畫一張行程示意圖如下
設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.
下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.
在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12＋ 16＝ 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點(diǎn)
（或E點(diǎn)）相遇所用時間是
28÷5＝ 5.6（小時）.
比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6＝0.4（小時）.
甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4＝30（千米/小時）.
同樣道理，乙的速度是
16÷0.4＝40（千米/小時）.
A到 B距離是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
答： A，B兩地距離是 420千米.
很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.
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