1.2 環(huán)形路上的行程問題 人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).
例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
（1）小張和小王同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？
（2）小張和小王同時從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是
500÷1.25-180=220（米/分）.
（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是
500÷（220-180）＝12.5（分）.
220×12.5÷500＝5.5（圈）.
答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.
例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個圓的周長.
解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是
80×3＝240（米）.
240-60=180（米）.
180×2＝360（米）.
答：這個圓的周長是360米.
在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).
例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？
解：畫示意圖如下：
如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是
40×3÷60＝2（小時）.
從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了
6×2-2＝10（千米）.
小王已走了 6＋2=8（千米）.
因此，他們的速度分別是
小張 10÷2＝5（千米/小時），
小王 8÷2=4（千米/小時）.
答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.
例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？
解：畫示意圖如下.
第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了
3.5×3＝10.5（千米）.
從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了
3.5×7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇處，離乙村
8.5-7.5=1（千米）.
答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.
下面仍回到環(huán)行路上的問題.
例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？
解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：
12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.
出發(fā)后2小時10分小張已走了
此時兩人相距
24-（8＋11）=5（千米）.
由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是
5÷（4＋6）＝0.5（小時）.
2小時10分再加上半小時是2小時40分.
答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.
例14 一個圓周長90厘米，3個點(diǎn)把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點(diǎn)上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置？
解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達(dá)同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.
30÷（5-3）＝15（秒）.
因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要
90÷（5-3）＝45（秒）.
B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是
15，，105，150，195，……
再看看A與B什么時候到達(dá)同一位置.
第一次是出發(fā)后
30÷（10-5）=6（秒），
以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要
90÷（10-5）＝18（秒），
A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是
6，24，42，，78，96，…
對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.
答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.
請思考， 3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？
例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點(diǎn)P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求
解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.
設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.
根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出
分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.
從P點(diǎn)同時反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時間相等.
PC上所需時間-PD上所需時間
=DA所需時間-CB所需時間
=18-12
=6.
而（PC上所需時間+PD上所需時間）是CD上所需時間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得
PC上所需時間是（24+6）÷2＝15，
PD上所需時間是24-15＝9.
現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有
BN上所需時間-AN上所需時間
=P→D→A所需時間-CB所需時間
=（9＋18）-12
= 15.
BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間
=16.
立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.
從這一例子可以看出，對要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會使問題變得簡單些.
