二、分解質因數
一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱為質數（也叫素數）.例如，2，5，7，101，….一個整數除1和它本身外，還有其他約數，就稱為合數.例如，4，12，99，501，….1不是質數，也不是合數.也可以換一種說法，恰好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.
質數中只有一個偶數，就是2，其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15，33，….
例9 ○＋（□+△）=209.
在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.
解：209可以寫成兩個質數的乘積，即
209＝11×19.
不論○中填11或19，□+△一定是奇數，那么□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2，不妨假定△內填2.當○填19，□要填9，9不是質數，因此○填11，而□填17.
這個算式是 11×（17＋2）＝209，
11×（2＋17）＝ 209.
解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講述的主要內容.
一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2，3，7，都是42的質因數，6，14也是42的因數，但不是質因數.
任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如
360＝2×2×2×3×3×5.
還可以寫成360＝23×32×5.
這里23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數，讀作3的2次方.
例10 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？
解：我們先把5040分解質因數
5040＝24×32×5×7.
再把這些質因數湊成四個連續自然數的乘積：
24×32×5×7＝7×8×9×10.
所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.
利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡單的例子.
我們知道24的約數有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數，如果一個一個地去找它的約數，將是很麻煩的事.
因為24＝23×3，所以24的約數是23的約數（1，2，22，23）與3的約數（1，3）之間的兩兩乘積.
1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.
這里有4×2＝8個，即 （3＋1）×（1＋1）個，即對于24＝23×3中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.
這個方法，可以運用到一般情形，例如，
144＝24×32.
因此144的約數個數是（4＋1）×（2+1）＝15（個）.
例11 在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.
解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.
（1）27＝128，符合要求，
37＞150，所以不再有其他7次方的數符合要求.
（2）23＝8，
8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.
33＝27；
只有27×5＝135符合要求.
53＝135，它乘以任何質數都大于150，因此共有4個數合要求：128，104，135，136.
利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如
720＝24×32×5，168＝23×3×7.
那么每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2，較低指數次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數是
23×3＝ 24.
在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意720中有5，而168中無5，可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是
24×32×5×7＝5040.
例12 兩個數的最小公倍數是180，最大公約數是30，已知其中一個數是90，另一個數是多少？
解：180＝22×32×5，
30＝2×3×5.
對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從22與2就知道，一數中含22，另一數中含2；從32與3就知道，一數中含32，另一數中含3，從一數是
90＝2×32×5.
就知道另一數是
22×3×5＝60.
還有一種解法：
另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找
30， 60， 90， 120，….
這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180，最大公約數是否是30.現在碰巧第二個數60就是.逐一去檢驗，有時會較費力.
