三、余數
在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產生了余數.通常的表示是：
65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
上面兩個算式中2和3就是余數，寫成文字是
被除數÷除數=商……余數.
上面兩個算式可以寫成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除數=除數×商+余數.
通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們容易從“余數”出發去考慮問題，這正是某些整數問題所需要的.
特別要提請注意：在帶余除式中，余數總是比除數小，這一事實，解題時常作為依據.
例17 5397被一個質數除，所得余數是15.求這個質數.
解：這個質數能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×31997×13×23.
因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.
當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到余數.
例18 求645763除以7的余數.
解：可以先去掉7的倍數630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數是6.這個過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶余除法可以得出下面很有用的結論：
如果兩個數被同一個除數除余數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除.
例19 有一個大于1的整數，它除967，1000，2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？
解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
這個整數是這三個差的公約數11.
請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因為另一個差總可以由這兩個差得到.
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那么差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
＝1001＋33
＝1034.
從帶余除式，還可以得出下面結論：
甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除，它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數.
例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數是5＋9＝14被13除的余數1.
例20 有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的余數是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的余數有什么規律，但這樣做太麻煩.根據上面說到的結論，可以采取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的余數相加，然后除以3，就得到這個數被3除的余數，這樣就很容易算出前十個數被3除的余數，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同.因此這一串數被3除的余數，每八個循環一次，因為
1998＝ 8×249＋ 6，
所以，第1998個數被3除的余數，應與第六個數被3除的余數一樣，也就是2.
一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鐘點是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
這十二個數構成一個循環.
按照七天一輪計算天數是
日，一，二，三，四，五，六.
這也是一個循環，相當于一些連續自然數被7除的余數
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
的循環.用循環制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事.
循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例20中余數的周期是8.研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事.
下面我們再舉出兩個余數出現循環現象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結論：
甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個余數.那么甲、乙兩數的積被這個除數除，它的余數就是兩個余數的積，被這個除數除所得的余數.
例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數是 4×5＝20被 11除后的余數 9.
1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數是2×2＝4.
