例9 如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD＝7，BC＝3，三個角的度數：角 B和D是直角，角A是45°.求這個四邊形的面積.

　　解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE，切掉一個等腰直角三角形BCE.

　　因為

　　A是45°，角D是90°，角E是

　　180°-45°-90°＝ 45°，

　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.

　　四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即

　　7×7÷2-3×3÷2＝20.

　　這是1994小學數學奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數不多.但是有一些同學，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學上找出根據，小學同學尚未學過幾何，千萬不要隨便對圖形下結論.我們應該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應首先考慮等腰直角三角形.

　　現在我們轉向正方形的問題.

　　例10 在右圖 11×15的長方形內，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？

　　解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.

　　長-寬 =15-11＝4

　　是“三”正方形的邊長.

　　寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此

　　中間小正方形邊長=11-4×2＝3.

　　中間小正方形面積=3×3＝ 9.

　　如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.

　　例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.

　　解：剩下的長方形土地，我們已知道

　　長-寬=1（米）.

　　還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？

　　如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.

　　我們把長和寬拼在一起，如右圖.

　　從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.

　　可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發現，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.

　　現在，我們就可以算出大正方形面積：

　　15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.

　　64是8×8，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的

　　長+寬=8（米）.

　　因此

　　長=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.

　　寬=8-4.5＝3.5（米）.

　　那么劃出的長方形面積是

　　4.5×1＝4. 5（平方米）.

　　例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG（陰影部分）的面積.

　　解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

　　四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）×大正方形邊長÷2

　　三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=（小正方形邊長+大正方形邊長），因此

　　三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）×大正方形邊長÷2.

　　四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

　　陰影部分面積=三角形ECG面積

　　=小正方形面積的一半

　　= 6×6÷2＝18.

　　十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關，而與大正方形邊長卻沒有關系.