例10 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？

　　解：我們先把5040分解質因數

　　5040＝2⁴×3²×5×7.

　　再把這些質因數湊成四個連續(xù)自然數的乘積：

　　2⁴×3²×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

　　利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡單的例子.

　　我們知道24的約數有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數，如果一個一個地去找它的約數，將是很麻煩的事.

　　因為24＝2³×3，所以24的約數是2³的約數（1，2，2²，2³）與3的約數（1，3）之間的兩兩乘積.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，2²×1，2²×3，2³×1，2³×3.

　　這里有4×2＝8個，即 （3＋1）×（1＋1）個，即對于24＝2³×3中的2³，有（3＋1）種選擇：1，2，2²，2³，對于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.

　　這個方法，可以運用到一般情形，例如，

　　144＝2⁴×3².

　　因此144的約數個數是（4＋1）×（2+1）＝15（個）.

　　例11 在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.

　　（1）2⁷＝128，符合要求，

　　3⁷＞150，所以不再有其他7次方的數符合要求.

　　（2）2³＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　3³＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　5³＝135，它乘以任何質數都大于150，因此共有4個數合要求：128，104，135，136.

　　利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如

　　720＝2⁴×3²×5，168＝2³×3×7.

　　那么每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2，較低指數次方是2³，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數是

　　2³×3＝ 24.

　　在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意720中有5，而168中無5，可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是

　　2⁴×3²×5×7＝5040.

　　例12 兩個數的最小公倍數是180，最大公約數是30，已知其中一個數是90，另一個數是多少？

　　解：180＝2²×3²×5，

　　30＝2×3×5.

　　對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從2²與2就知道，一數中含2²，另一數中含2；從3²與3就知道，一數中含3²，另一數中含3，從一數是

　　90＝2×3²×5.

　　就知道另一數是

　　2²×3×5＝60.

　　還有一種解法：

　　另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180，最大公約數是否是30.現在碰巧第二個數60就是.逐一去檢驗，有時會較費力.

　　例13 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數從小到大排列，那么第三個分數是多少？

　　解：把420分解質因數

　　420＝2×2×3×5×7.

　　為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質因數（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應小于分母.分子從小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超過分母了，它們相應的分數是

　　兩個整數，如果它們的最大公約數是1.就稱這兩個數是互質的.

　　例13實質上是把420分解成兩個互質的整數.

　　利用質因數分解，把一個整數分解成若干個整數的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個例題.