例20 有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的余數是多少？

　　解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的余數有什么規律，但這樣做太麻煩.根據上面說到的結論，可以采取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的余數相加，然后除以3，就得到這個數被3除的余數，這樣就很容易算出前十個數被3除的余數，列表如下：

　　從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同.因此這一串數被3除的余數，每八個循環一次，因為

　　1998＝ 8×249＋ 6，

　　所以，第1998個數被3除的余數，應與第六個數被3除的余數一樣，也就是2.

　　一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鐘點是

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

　　這十二個數構成一個循環.

　　按照七天一輪計算天數是

　　日，一，二，三，四，五，六.

　　這也是一個循環，相當于一些連續自然數被7除的余數

　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6

　　的循環.用循環制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事.

　　循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例20中余數的周期是8.研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事.

　　下面我們再舉出兩個余數出現循環現象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結論：

　　甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個余數.那么甲、乙兩數的積被這個除數除，它的余數就是兩個余數的積，被這個除數除所得的余數.

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數是 4×5＝20被 11除后的余數 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數是2×2＝4.

　　例 21 19¹⁹⁹⁷被7除余幾？

　　解：從上面的結論知道，19¹⁹⁹⁷被7除的余數與2¹⁹⁹⁷被7除的余數相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數.

　　先寫出一列數

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規律.列表如下：

　　事實上，只要用前一個數被7除的余數，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數被7除的余數.（為什么？請想一想.）

　　從表中可以看出，第四個數與第一個數的余數相同，都是2.根據上面對余數的計算，就知道，第五個數與第二個數余數相同，……因此，余數是每隔3個數循環一輪.循環的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道2¹⁹⁹⁷被7除的余數，與2¹⁹⁹⁷ 被 7除的余數相同，這個余數是4.

　　再看一個稍復雜的例子.

　　例22 70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等于它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾？

　　解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等于前一個數的3倍減去再前一個數：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

　　……

　　不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數，算出后面的余數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什么？），從第三個數起，余數的計算辦法如下：

　　將前一個數的余數乘3，減去再前一個數的余數，然后被6除，所得余數即是.

　　用這個辦法，可以逐個算出余數，列表如下：

　　注意，在算第八個數的余數時，要出現0×3-1這在小學數學范圍不允許，因為我們求被6除的余數，所以我們可以 0×3加6再來減 1.

　　從表中可以看出，第十三、第十四個數的余數，與第一、第二個數的余數對應相同，就知道余數的循環周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十個數被6除的余數，與第十個數的余數相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

　　“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：

　　一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數.