有一個著名的數學故事--哥尼斯堡七橋問題。哥尼斯堡是立陶宛共和國的一座城市，布勒格爾河從城中穿過，河中有兩個島，18世紀時河上共有七座橋連接A，B兩個島以及河的兩岸C，D(如下圖)。

　　所謂七橋問題就是：一個散步者要一次走遍這七座橋，每座橋只走一次，怎樣走才能成功？

　　當時的許多人都熱衷于解決七橋問題，但是都沒成功。后來，這個問題引起了大數學家歐拉(1707-1783)的興趣，許多人的不成功促使歐拉從反面來思考問題：是否根本就不存在這樣一條路線呢？經過認真研究，歐拉終于在1736年圓滿地解決了七橋問題，并發現了一筆畫原理。歐拉是怎樣解決七橋問題的呢？因為島的大小，橋的長短都與問題無關，所以歐拉把A，B兩島以及陸地C，D用點表示，橋用線表示，那么七橋問題就變為右圖是否可以一筆畫的問題了。

　　一、例題與方法指導

　　例1 下圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由。如果能，應從哪開始走？

　　思路導航：

　　我們將每個展室看成一個點，室外看成點E，將每扇門看成一條線段，兩個展室間有門相通表示兩個點間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復地穿過每扇門的問題，變為右圖是否一筆畫問題。

　　例1的關鍵是如何把一個實際問題變為判斷是否一筆畫問題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時做的那樣。

　　例2    一個郵遞員投遞信件要走的街道如下頁左上圖所示，圖中的數字表示各條街道的千米數，他從郵局出發，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？

　　思路導航：

　　圖中共有8個奇點，必須在8 個奇點間添加4條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復走的路，顯然，這樣重復走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。

　　例3    右圖中每個小正方形的邊長都是100米。小明沿線段從A點到B點，不許走重復路，他最多能走多少米？

　　思路導航：

　　這道題大多數同學都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有8個奇點，在8個奇點之間至少要去掉4條線段，才能使這8個奇點變成偶點；其次，從A點出發到B點，A，B兩點必須是奇點，現在A，B都是偶點，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下頁上圖。或

　　例2與例3的圖中各有8個奇點，都是通過減少奇點個數，將多筆畫變成一筆畫的問題，但它們采用的方法卻完全不同。因為例2中只要求走遍所有的線段，沒有要求不能重復，所以通過添加線段的方法(實際是重復走添加線段的這段路)，將奇點變為偶點，使多筆畫變成一筆畫。而在例3中，要求不能走重復的路，所以不能添加線段，只能通過減少線段的方法，將奇點變為偶點，使多筆畫變成一筆畫。區別就在于能否重復走！能"重復"就"添線"，不能"重復"就"減線"。

　　例4    在六面體的頂點B和E處各有一只螞蟻(見右圖)，它們比賽看誰能爬過所有的棱線，最終到達終點D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？

　　思路導航：

　　許多同學看不出這是一筆畫問題，但利用一筆畫的知識，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過所有的棱，沒要求不能重復。可是兩只螞蟻爬速相同，如果一只不重復地爬遍所有的棱，而另一只必須重復爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達D點，因而獲勝。問題變為從B到D與從E到D哪個是一筆畫問題。圖中只有E，D兩個奇點，所以從E到D可以一筆畫出，而從B到D 卻不能，因此E點的螞蟻獲勝。

　　二、鞏固提高

　　1.郵遞員要從郵局出發，走遍左下圖(單位：千米)中所有街道，最后回到郵局，怎樣走路程最短？全程多少千米？

　　2.有一個郵局，負責21個村莊的投遞工作，右上圖中的點表示村莊，線段表示道路。郵遞員從郵局出發，怎樣才能不重復地經過每一個村莊，最后回到郵局？

　　3.一只木箱的長、寬、高分別為5，4，3厘米(見右圖)，有一只甲蟲從A點出發，沿棱爬行，每條棱不允許重復，則甲蟲回到A點時，最多能爬行多少厘米？